- •Понятие лса. Общие подходы к проектированию
- •Требования, предъявляемые локальным сетям
- •Вид потребляемой энергии Аналоговые локальные системы
- •Математические модели объектов управления
- •Методы линеаризации уравнений
- •Мм нелинейных элементов
- •Общий метод описания эквивалентных передаточных функций нэ
- •Логарифмические эквивалентные амплитудные и фазовые характеристики сложных нелинейных элементов
- •Статическая линеаризация существенных дискретных нелинейных элементов
- •Линеаризация приближенных значений
- •Вычислительные процедуры для определения коэффициента гармонической и статической линеаризации нелинейных элементов
- •Математическая модель сау
- •Управляемость и наблюдаемость
- •Анализ локальных систем управления
- •Качество
- •Исследование динамической точности
- •2) Движение с постоянной скоростью.
- •Синтез лса
- •Синтез линейных непрерывных локальных систем заданных структур
- •Синтез дискретно непрерывных систем
- •Последовательное программирование
- •Параллельное программирование
- •Синтез линейных непрерывных локальных систем
- •Постановка задачи синтеза частотными методами
- •Выбор параметров неизменяемой части
- •Выбор типа двигателя для регулируемого органа
- •Электрические двигатели
- •Гидравлические двигатели
- •Проверка правильности выбора механической передачи
- •Синтез последовательных и параллельных корректирующих устройств
- •Подстановка задачи и выбора универсальной эвм
- •Примеры синтеза систем комбинированного типа
- •Сенсорные устройства. Датчики роботов.
- •Позиционные лсу
- •Контурные лсу
Методы линеаризации уравнений
Дифференциальные уравнения можно линеаризовать следующими методами:
1. нелинейная функция рабочей области раскладывается в ряд Тейлора.
2. Заданные в виде графов нелинейные функции линеаризуются в рабочей плоскости прямыми.
3. Вместо непосредственного определения частных производных, вводятся переменные в исходные нелинейные уравнения.
,
,
. (33)
4. Данный метод основан на определении коэффициентов по методу наименьших квадратов.
, (34)
где - постоянное времени пневмопривода;
- передаточный коэффициент пневмопривода;
- коэффициент демпфирования пневмопривода.
Внутреннее строение элементов САР наиболее просто определяется с помощью структурных схем графов. В отличие от известных структурных схем в графах, переменные указываются в виде времени, а дуги обозначают или параметры, или передаточные функции типовых звеньев. Между ними существует четное соотношение.
Мм нелинейных элементов
Рассмотренные в первой главе методы линеаризации применимы, когда нелинейность, входящая в объект ЛСА, хотя бы один раз дифференцируема или аппроксимируется касательной с малой погрешностью некоторой окрестности близкой к рабочей точке. Существует целый класс нелинейностей, для которых оба условия не выполняются. Обычно это существенные нелинейности. К ним относятся: ступенчатые, кусочно-линейные и многозначные функции с точками разрыва первого рода, а также степенные и транстендентые функции. Использование УВМ, обеспечивающих выполнение логико-алгебраических операций в системах привело к новым типам линейностей, которые представляют через непрерывные переменные с помощью специальной логики.
Для математического описания таких нелинейностей применяют эквивалентные передаточные функции, зависящие от коэффициентов линеаризации, которые получают путем минимизации среднего квадрата ошибки воспроизведения заданного входного сигнала. Форма входных сигналов, поступающих на вход нелинейностей может быть произвольна. На практике наиболее распространение получили гармонические и случайные виды входных сигналов и их временные комбинации. Соответственно и методы линеаризации называются гармоническими и статическими.
Общий метод описания эквивалентных передаточных функций нэ
Весь класс существенных нелинейностей разделены на две группы. К первой группе относится однозначные нелинейности, у которых связь между входными и выходнымивекторными сигналами зависит только от формы статической характеристики нелинейности.
.
В этом случае, при определенной форме входных сигналов:
.
С помощью матрицы линеаризации можно найти приближенное значение выходных сигналов:
.
Из (42) следует, что матрица коэффициентов линеаризации однозначных нелинейностей, является действительными величинами и их эквивалентные передаточные функции:
.
Ко второй группе относят двузначные (многозначные) нелинейности, у которых связь между входными и выходными сигналами зависит не только от формы статической характеристики, но так же определяется предысторией входного сигнала. В этом случае выражение (42) запишется в виде:
.
Для учета влияния предыстории входного периодического сигнала будем учитывать не только сам сигнал , но и скорость его изменения, дифференциал.
При входных сигналах:
приближенное значение входного сигнала будет:
,
где и- коэффициенты гармонической линеаризации двухзначных нелинейностей;
- период колебания по правой гармонике;
- гармоническая функция.
Эквивалентная передаточная функция:
.
Существуют нелинейности более общего вида:
,
,
где и- коэффициенты гармонической линеаризации;
- номер гармоники.
Матрицы коэффициентов линеаризации периодической с периодом . Имея это ввиду, передаточную функцию двух двухзначной нелинейности можно представить по аналогии с передаточной функцией
.
Пользуясь определим обобщенную формулу для вычисления передаточной функции однозначных и двухзначных нелинейностей.
В случае однозначной нелинейности матрица коэффициентов линеаризации , зависящей от параметров вектора, выберем, таким образом, чтобы линеаризовать среднее значение квадрата разности между точными приближеннымсигналами на входе:
После преобразований, упрощений, ухищрений и усиления бдительности, получим эквивалентную передаточную функцию в виде системы матриц: ,.
,
при ,.
.
Пример.
Определить коэффициент линеаризации для однозначной нелинейности. Когда на ее вход поступает первая гармоника синусоидального сигнала:
,
где .
.
Уравнение (56) представляет собой коэффициент линеаризации по первой гармонике для однозначной нелинейности, она определяет эквивалентную передаточную функцию .
В дальнейшем сравнение формулы для определения коэффициентов линеаризации простейших нелинейностей при подаче на их вход периодических сигналов: синусоидального, треугольного, покажем целесообразность применения получаемых эквивалентных передаточных функций.
Коэффициент линеаризации определим ,.
,
.
Пример. Определить коэффициент линеаризации двузначной нелинейности, когда на ее вход поступает первая гармоника синусоидального сигнала и имеет один вход. Из системы матриц (60), получим:
,
.
В данном примере входной сигнал запишем в виде:
,
,
.
Когда для двузначной нелинейности общая эквивалентная функция:
. .