Математические модели элементов
Для математической модели наиболее часто применяются дифференциальные, интегрально-дифференциальные уравнения, записанные по координатой или векторно-матричной форме.
Динамические элементы относятся к непрерывным, если рассматриваются в них и сигналы изменяются непрерывно.
В дискретных элементах процессы и системы имеют конечное число значений по величине и времени.
Максимальное описание элементов удобно выполнить через переменные состояния. Они аналогичны обобщенным координатам, а пространство их изменения является фазовым.
Обычно при описании
элементов непрерывного действия
используют
- переменное состояние,
- выходной сигнал,
- входной сигнал.
(5)
(6,7,8)
(9,10)
Система (5) справедлива на заданном интервале времени и при заданных начальных условиях.
Система (5) считается
не линейной, если кроме нелинейных
состояний
,
есть их производные степени и транспортной
функции.
Пример № 1. Уравнение устройства для замера угловых скоростей на выходе вала двигателя внутреннего сгорания.
,
(11)
где
- масса устройства,
- перемещение
устройства,
- коэффициент
скоростного терния,
- коэффициент
жесткости пружины,
- угловая скорость
выходного вала,
- коэффициент
пропорциональности при угловой скорости.
Обозначим:
,
(12)
,
(13)
получим:
.
(14)
Пример № 2. Уравнение вертикально стартующей вверх ракеты род действием силы тяги двигателя.
,
(15)
- уравнение не линейное и не стационарное.
где
- высота подъема,
- коэффициент
пропорциональности,
- коэффициент
трения,
- ускорение
свободного падения.
Ведем следующие обозначения:
,
(16)
.
(17)
.
При описании элементов дискретного действия в общем виде используют уравнения:
(18)
(19,20,21)
,
(22)
.
(23)
Наиболее
распространенным случаем, является
случай, когда такт квантования равен
постоянному времени
.
Тогда уравнение (18) запишется в виде:
(24)
Составим разностное уравнение для численных процедур интегрирования и их реакции на управляющей ЭВМ.
Пусть
.
(25)
Начальные условия:
,
(26)
.
(27)
Для метода Тейлора:
.
(28)
Для метода Адаме-Башворта:
.
(29)
Для метода Адамс-Мультон:
,
(30)
Уравнения (28), (29) и (30) реализуются в виде рабочих программ на управляющей ЭВМ.