Методы линеаризации уравнений

Дифференциальные уравнения можно линеаризовать следующими методами:

1. нелинейная функция рабочей области раскладывается в ряд Тейлора.

2. Заданные в виде графов нелинейные функции линеаризуются в рабочей плоскости прямыми.

3. Вместо непосредственного определения частных производных, вводятся переменные в исходные нелинейные уравнения.

, (31)

, (32)

. (33)

4. Данный метод основан на определении коэффициентов по методу наименьших квадратов.

Дискретная система, передаточная функция, частотные характеристики, импульсные переходные функции, удобно лишь при моделировании. При высоких порядках математического моделирования модели также процедуры требуют использования значительных временных затрат. Именно поэтому стали пользоваться векторно-матричными формами записи данных уравнениями. При этом один линейный объект входит две матрицы А и В.

Стационарный объект можно записать в виде векторно-матричного уравнения:

, (37)

, (38)

- нормальная форма записи. (39)

где и- векторы размерностии.

В соответствии с векторно-матричным уравнением постоим структурную схему многомерного объекта, который в дальнейшем будем называть типовой.

Рисунок 14

Для нестационарного объекта:

. (40)

Вектор и матрицыиимеют те же размерности, отличие является в том, что матрицыизависят от времени. Структурная схема остается той же. Существуют и другие формы построения структурных схем, отличающиеся способом введения дополнительных отрицательных и положительных ОС.

Большинство из них может быть приведено к типовым схемам.

Мм нелинейных элементов

Рассмотренные в первой главе методы линеаризации применимы, когда нелинейность, входящая в объект ЛСА, хотя бы один раз дифференцируема или аппроксимируется касательной с малой погрешностью некоторой окрестности близкой к рабочей точке. Существует целый класс нелинейностей, для которых оба условия не выполняются. Обычно это существенные нелинейности. К ним относятся: ступенчатые, кусочно-линейные и многозначные функции с точками разрыва первого рода, а также степенные и транстендентые функции. Использование УВМ, обеспечивающих выполнение логико-алгебраических операций в системах привело к новым типам линейностей, которые представляют через непрерывные переменные с помощью специальной логики.

Для математического описания таких нелинейностей применяют эквивалентные передаточные функции, зависящие от коэффициентов линеаризации, которые получают путем минимизации среднего квадрата ошибки воспроизведения заданного входного сигнала. Форма входных сигналов, поступающих на вход нелинейностей может быть произвольна. На практике наиболее распространение получили гармонические и случайные виды входных сигналов и их временные комбинации. Соответственно и методы линеаризации называются гармоническими и статическими.