27) Парабола: определение, вывод канонического уравнения. Расположение параболы в декартовой системе координат, координаты фокуса и уравнение директрисы. Частные случаи.

О. Параболой – называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F, наз фокусом и данной прямой, наз директрисой.

ОС = ОF =

|MK|=|MF|

M(x;y)

K()

|FM|=

|KM|=

=

y² = 2px – каноническое уравнение параболы

Если р > 0, то ветви параболы направлены по направлению оси ОХ, если р < 0, то ветви направлены в противоположную сторону.

В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка , а директриса имеет уравнение

28) Плоскость в пространстве r3. Уравнения плоскости: по точке и нормальному вектору, общее уравнение плоскости, частные случаи.

О. Равенство F(x,y,z) = 0 или z = f(x,y) называется уравнением поверхности S, если координаты всех точек поверхности удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, непринадлежащих поверхности, ему неудовлетворяют.

Уравнения плоскости: точке и нормальному вектору:

M₀

M₀ (x₀, y₀, z₀) = {A,B,C} M (x, y, z)

┴ , значит *= 0

A(x – x_o) + B(y – y_o) + C(z – z_o) = 0 – уравнение плоскости

Упростим уравнение: Ax + By + Cz – Axo – Byo – Czo = 0

Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

11) z = 0 - плоскость Oxy;

12) y = 0 - плоскость Oxz;

13) x = 0 - плоскость Oyz.

29) Векторное уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Плоскость в «отрезках». Нормальное уравнение плоскости.

Представим вектор , через радиус веторы.

=

=

( - , ) = 0 – векторное уравнение, скалярное произведение

Уравнение плоскости, проходящей через М₁(х₁, y_1, z₁), М₂(х₂, y_2, z₂), М₃(х₃, y_3, z₃)

M₁ M

M (x, y, z)

= {x – x_1, y – y_1, z – z₁}

= {x₂ – x_1, y₂ – y_1, z₂ – z₁}

= {x₃ – x_1, y₃ – y_1, z₃ – z₁}

, – компланарные векторы.

(, ) = 0 – смешанное произведение

x – x₁ y – y₁ z – z₁

x₂ – x₁ y₂ – y₁ z₂ – z₁ = 0 - уравнение плоскости, проходящей через три точки

x₃ – x₁ y₃ – y₁ z₃ – z₁

Плоскость в «отрезках»

Пусть М₁(a, 0_, 0), М₂(0, b_, 0), М₃(0, 0_, c)

Тогда :

x – a y z

– a b 0 = 0

– a 0 c

bc(x - a) + abz + acy = 0

bcx + acy + abz = abc | * (abc)

– уравнение плоскости в отрезках

Нормальное уравнение плоскости.

Пусть плоскость задана : Ax + By + Cz + D = 0

A² + B² + C² ≠ 0 = {A, B, C}

Введем нормирующий вектор :

Умножим уравнение плоскости на нормирующий вектор и получим:

cosx + cosy +cosz – p = 0 - нормальное уравнение плоскости

P – расстояние от точки О(0,0,0) до плоскости