
- •Н.С.Распопова – Математический анализ. Часть 1. Общие методические указания
- •Задания для контрольной работы
- •1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя
- •2. Найти производные следующих функций
- •3.Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы
- •4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте [a, b]
- •5. Провести полное исследование функции и построить ее график
- •6. Найти частные производные первого порядка функции
- •Методические указания к выполнению контрольной работы
- •I. Вычисление пределов
- •II. Вычисление производных функции одного аргумента
- •III. Применение правила лопиталя
- •IV. Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте
- •V. Исследование функций и построение их графиков
- •VI. Вычисление частных производных
- •VII. Исследование на экстремум функции двух аргументов
- •Содержание
- •Для заметок Для заметок
6. Найти частные производные первого порядка функции
Вариант №1. |
Вариант № 2. |
Вариант №3. |
Вариант №4. |
Вариант №5. |
Вариант №6. |
Вариант №7. |
Вариант №8. |
Вариант №9. |
Вариант №10. |
Вариант №11. |
Вариант №12. |
Вариант №13. |
Вариант №14. |
Вариант №15. |
Вариант №16. |
Вариант №17. |
Вариант №18. |
Вариант №19. |
Вариант №20. |
Вариант №21. |
Вариант №22. |
Вариант №23. |
Вариант №24. |
Вариант №25. |
Вариант №26. |
Вариант №27. |
Вариант №28. |
Вариант №29. |
Вариант №30. |
7. Исследовать на экстремум функцию z=z(x;y)
Вариант №1. |
Вариант №2. |
Вариант №3. |
Вариант №4. |
Вариант №5. |
Вариант №6. |
Вариант №7. |
Вариант №8. |
Вариант №9. |
Вариант №10. |
Вариант №11. |
Вариант №12. |
Вариант №13. |
Вариант №14.
|
Вариант №15. |
Вариант №16. |
Вариант №17. |
Вариант №18. |
Вариант №19. |
Вариант №20. |
Вариант №21. |
Вариант №22. |
Вариант №23. |
Вариант №24. |
Вариант №25. |
Вариант №26. |
Вариант №27. |
Вариант №28. |
Вариант №29. |
Вариант №30. |
Методические указания к выполнению контрольной работы
I. Вычисление пределов
При вычислении пределов обычно используют следующие теоремы.
Предел суммы двух функций равен сумме пределов слагаемых, если пределы слагаемых существуют и конечны.
Предел произведения двух функций равен произведению пределов сомножителей, если пределы сомножителей существуют и конечны.
Предел частного равен частному от деления пределов, если пределы делимого и делителя существуют, конечны и предел делителя не равен нулю.
Т.е., если существуют
конечные пределы
и
,
то
,
,
,
если
.
Функции, полученные
с помощью конечного числа операций
сложения, умножения, деления, суперпозиции
из основных элементарных
,
называются элементарными.
Функция f(x)
называется непрерывной в точке a,
если
и
.
Все элементарные
функции непрерывны в своей области
определения, поэтому, если точка a
принадлежит области определения
элементарной функции f(x),
то.
Пример
1. Вычислить
предел
.
.
Если предел одной или обеих функций равен бесконечности, то можно использовать соотношения:
,
,
,
;
;
;
;
.
Если при подстановке
в функцию, стоящую под знаком предела,
получается одна из следующих ситуаций
,
,
,
,
,
,
,
то говорят, что имеет место соответствующая
неопределённость. Для раскрытия
неопределённостей существуют специальные
приёмы.
Например, если
и неопределенность
получена при делении многочленов, то
для раскрытия неопределённости обычно
делят числитель и знаменатель дроби на
старшую степень переменной
числителя
или знаменателя.
Пример
2. Вычислить
предел
.
.
Здесь
имелась неопределённость
.
Для её раскрытия мы разделили числитель
и знаменатель на
.
А затем применили теорему о пределе
частного. Предел каждой из «маленьких»
дробей
равен нулю, так как в их числителях стоят
числа, а в знаменателях – бесконечно
большие величины.
Пример
3. Вычислить
предел
.
В этом примере мы делили на старшую степень числителя. Если бы мы разделили на старшую степень знаменателя, то получили бы
.
Пример
4. Вычислить
предел
.
Запись [ +0 ] означает,
что в знаменателе стоит положительная
бесконечно малая величина. Поэтому
(+4)/(+0) = +.
Заметим, что
считается, n
всегда стремится к (+).
Если
и неопределённость
получается при делении многочленов, то
числитель и знаменатель нужно разложить
на множители, а затем сократить на (
).
При этом нужно
помнить, что квадратный трёхчлен
раскладывается на множители следующим
образом:
,
где
и
- корни квадратного трёхчлена. Их можно
найти по формуле
.
Пример
5. Вычислить
предел
.
.
Если в числителе
или знаменателе дроби есть разность
квадратных корней, то можно умножить
числитель и знаменатель дроби на
сопряжённое выражение, т.е. на сумму
этих же корней, а затем воспользоваться
формулой разности квадратов:
Пример
6. Вычислить
предел
.
=
Если функция, стоящая под знаком предела, содержит тригонометрические или обратные тригонометрические функции, то можно использовать первый замечательный предел или следствия из него.
Кроме того, полезно вспомнить тригонометрические формулы:
cos 0 = 1, sin 0 = 0,
,
,
,
,
cos (-x) = cos x, sin(-x)=-sin(x),
,
.
Пример
7. Вычислить
предел
.
1 1
1 1
Пример
8. Вычислить
предел
.
1
1
Для раскрытия
неопределённости типа []
(и только такого типа) используется
второй замечательный предел:
,
где е –
число Непера,
.
При решении примеров
обычно используют следствия из второго
замечательного предела:
или
.
Пример
9. Вычислить
предел
.
Следовательно,
имеем неопределенность [].
Выделим внутри скобки единицу:
Здесь
при
,
т.е.
является бесконечно малой величиной
при
.
Для использования
второго замечательного предела нужно,
чтобы в показателе стояла величина
обратная этой бесконечно малой
.
При возведении в степень показатели перемножаются, поэтому полученное выражение нужно возвести в степень (-4)/(2x+1), тогда выражение под знаком предела в результате наших преобразований не изменится. Необходимо не забыть о прежнем показателе степени. Итак,
=.
Пример
10. Вычислить
предел
.
.