2.3.1.4 Алгоритм вычисления расстояния по Махалонобису

Шаг 1. Вычислить средние значения существенных признаков объектов принадлежащих классу :

для , где - множество значений -го существенного признака, – количество объектов в классе, – количество существенных признаков. Тем самым будет найден и центр класса .

Шаг 2. Вычислить ковариации между всеми парами существенных признаков:

и составить ковариационную матрицу:

Шаг 3. Если матрица обратима, то вычислить расстояние по Махалонобису между предъявленным объектом и центром класса :

,

где - матрица, обратная к .

Если матрица необратима, то вычислить стандартизованное расстояние между объектом и центром класса , предварительно вычислив все среднеквадратичные отклонения для данного класса.

Рассмотрим подробно процедуру вычисления расстояний в метрике Махалонобиса на следующем примере. Пусть в результате предварительной классификации десять объектов, которые имеют два существенных признака, были распределены по двум классам. Значения существенных признаков объектов каждого из классов приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 Существенные признаки объектов.
Класс №1				Класс №2
j i	1	2		J I	1	2
1	1	1		1	2	1
2	2	2		2	3	2
3	3	3		3	4	3
4	4	4		4	5	4
5	5	5		5	11	12

Найдем центры каждого класса. Координаты центров классов вычисляют как среднеарифметические значения одноименных, существенных признаков. Для первого класса:

Поступая аналогичным образом, для центра второго класса получим, что . Далее, необходимо вычислить дисперсии и среднеквадратические отклонения существенных признаков для каждого класса. Для первого существенного признака объектов первого класса дисперсия определяется из соотношения

Аналогичным образом найдем дисперсию второго существенного признака первого класса , и для второго класса . Тогда для среднеквадратического отклонения первого класса получим

,

а для второго класса

.

Теперь нужно вычислить матрицы ковариаций для обоих классов. Поскольку существенные признаки объектов первого класса изменяются ковариантно, то элементы матрицы ковариаций первого класса равны , что дает

.

Вычислим элементы матрицы ковариаций для второго класса. По определению диагональные элементы этой матрицы равны квадратам среднеквадратических отклонений: и . Осталось вычислить только недиагональные элементы. Поскольку и в этом случае существенные признаки объектов изменяются ковариантно, то . Таким образом

.

Пусть системе классификации предъявлен новый объект . Для того чтобы отнести объект к одному из двух классов, необходимо вычислить расстояния между объектом и центрами классов. Определитель матрицы равен нулю, это означает, что для нее нельзя найти обратную матрицу, поэтому расстояние между новым объектом и первым классом вычислим по формуле

.

Определитель матрицы равен единице, . Найдем обратную матрицу . Элементы обратной матрицы находят по формуле

,

где - алгебраическое дополнение элемента в определителе .

По определению . - минор (определитель), который получают в результате вычеркивания в определителе -той строки и -того столбца. Вычислим элементы обратной матрицы . В соответствии с формулой необходимо вычислить алгебраические дополнения:

.

Таким образом,

.

Найдем расстояние между объектом и вторым классом. Для этого вычислим элементы матрицы

.

Далее вычислим произведение матриц

Тогда расстояние между объектом и вторым классом

.