53. Выведите уравнение минимальной границы.
Уравнение min границы:
n активов
V= матрица ковариации
Х=(х1,х2,…,хn)T
µ - задано
-
вектор доходности
Введем
=ITV-1I
=ITV-1
=
TV-1I
=
TV-1
=
-
2
54.
54. Доказать, что уравнение минимальной границы является ветвью
гиперболы и найти ее асимптоты.
Пусть
Уравнение
гиперболы с асимптотами:
А
М
В
<= MIN граница
Вершина
M
AMB- график min границы
МВ – эффективная граница
Портфель минимального риска с доходностью не выше/ниже заданной
Рассмотрим
портфель
минимального риска
Определяется т. М (задача имеет тоже решение, что и задача минимального риска при фиксированной доходности).
Если
,
то портфель минимального риска
определяестя пересечением
гиперболы
с прямой
55. Найдите портфель Марковица минимального риска при заданной
ожидаемой доходности.
Задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи E ( rn ) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Необходимо найти минимальное значение дисперсий портфеля
Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:
а) n значений ожидаемой доходности E ( ri ) , где i = 1, 2,…, n каждой ценной бумаги в портфеле;
б) n значений дисперсий σ 2 i каждой ценной бумаги;
в) n ( n 1)/2 значений ковариации σ i , j , где i , j = 1, 2,…, n . Если подставить значения E ( ri ), σ i и σ i , j в уравнения (7.1) (7.3), то выясняется, что задача формирования оптимального портфеля из n акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е инвестор должен найти та кие значения Wi , при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным.
56. Опишите портфель Тобина.
Предположим, что вместе с n-рисковыми активами портфель инвестора включает безрисковую бумагу с детерминированной доходностью µf= Rf и долей в портфеле, составляющей xf/
X
=
V-1(µ̄
- µf
I)
- искомый вектор рисковых долей
57. Докажите, что прямая является касательной к графику минимальной границы.
Докажем, что прямая является касательной к графику минимальной границы. Для доказательства найдем точки пересечения гиперболы и прямой , решая совместно их уравнения, и убедимся, что такая точка одна. Приравнивая правые части и , получим
(
)2
=
Далее получим квадратное относительно μ уравнение и найдем его корни
µ²
(
- α)
+ 2µ(β
-
µf)
+ (
µ²f
-
γ)
= 0
Дискриминант данного уравнения равен нулю
4
(β
-
µf)²
- 4(
- α)
(
µ²f
-
γ)
=0
Это доказывает, что прямая является касательной к графику минимальной границы
58. Найдите координаты касательного портфеля (его доходность и риск).
Для координат касательного портфеля имеем
µT
=
σT
=
, где d=√(µ̄
- µf
I)T
V-1(µ̄
- µf
I)
При
этом сам касательный портфель Т
=
V-1(µ̄
- µf
I)
59. Перечислите и дайте определения параметрам, характеризующим облигацию.
Дата погашения t=T. T – время обращения облигации с моментом выпуска и срок погашения n=T-t, где t – текущая дата.
Номинальная стоимость N – сумма денег, выплаченных владельцу облигаций на дату погашения T.
Купонный доход С – ежегодные платежи для оплаты владельцу облигации ежегодно по купонной ставке q=C/N. Если С=0, то облигация называется бескупонной.
60. Дайте определение и приведите формулу для текущей стоимости облигации.
Текущая стоимость облигации Р – поток платежей, состоящий из ежегодной выплаты купонного дохода и выплаты номинальной стоимости на дату погашения.
61. Дайте определение курса (курсовой стоимости) облигации, приведите пример.
Курсом облигации называется соотношение рыночной цены облигации V к номиналу N. Например, если рыночная стоимость равна V=1200, а номинал акции N=800, то курс акции будет равен 1200/800=1,5.
62. Дайте определение и приведите формулу для доходности облигации
к погашению, приведите пример.
Для характеристики облигаций вводится процентная ставка ρ – доходность погашения.
Доходность к погашению — это ставка внутренней доходности денежного потока по облигации при намерении покупателя удерживать эту облигацию до погашения.
Если известны рыночная цена облигации V, ее номинальная стоимость N, срок погашения n и купонная ставка q, доходность к погашению определяется как решение уравнения:
Для больших значений n, точное решение уравнения затруднительно и для нахождения доходности используется приближенная формула:
ρ=
, где k
– курс облигации
Пример:
Найти доходность к погашению для двухгодичной облигации номинальной стоимостью 1000 с купонной ставкой 10% которая продается за 1100.
N=1000, q=0,1, n=2, V=1100
Подставим
в формулу, после преобразований получим
11
+21p-1=0
P=4,65%