1.Докажите, что при одной и той же ставке процента наращение по схеме простых процентов является более выгодным для периода наращения менее года, а для периода наращения более года более выгодным является наращение по схеме сложных процентов.
1)Прост.проц: St=S0(1+it)
Слож.проц:
St=S0(1+i)t
St 
S0(1+i)
S0
1 t
Следовательно, в пределах года простое исчисление выгоднее.
2)Пусть
срок вклада- n
лет. Тогда при начислении сложн.проц:
St=S0(1+i)t,
а при исчислении прост.проц.: St=S0(1+it).
Раскроем (1+i)t
по формуле бинома Ньютона: (1+i)t=
1+it+
*i2+…+it
>1+it
при t
>1.
Если больше года, то сложное исчисление выгоднее.
2.Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае простых процентов.
Если частота начисления процентов N неограниченно возрастает:
St=
0(1+
Nt)
= S0
(1+it)
3. Выведите формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.
St=
0(1+
)Nt
=S0
)N/t
]it
=S0eit
i заменяется на б-сила роста.
St=S0etб
4.Выведите эффективную процентную ставку в случае простых процентов
уменьшается с увеличением k
5. Выведите эффективную процентную ставку в случае сложных процентов (3 случая)
за n-й период начисления:
не
зависит от k
и равна номинальной
кратное начисление процентов:
для непрерывных процентов:
6.(7,8,9)Эквивалентность различных процентных ставок
Ставки называются эквивалентными, если они имеют одинаковые коэффициенты роста
Эквивалентность простых и сложных процентов
is – простая процентная ставка, id – сложная процентная ставка,
ic – непрерывная процентная ставка
Эквивалентность простых и непрерывных процентов
Эквивалентность сложных и непрерывных процентов
10. Выведите “Правило 70” в случае сложных процентов.
2So=So(1+i)^t
Ln2=t ln (1+i)
Ln(1+i)=i
Ln2=ti
T=ln2/i
11. Выведите “Правило 70” при кратном начислении процентов в случае сложных процентов.
2So=So(1+i/m)^tm
2= (1+i/m)^mt
Ln 2=mtln(1+i/m)
Ln(1+i/m) = i/m
Ln2=mt(i/m)
Ln2=ti
T=ln2/i
12. Выведите “Правило 70” при непрерывном начислении процентов в случае сложных процентов.
2So=So(e^ti)
2=e^ti
Ti=ln2
T=ln2/i
13. Выведите “Правило 100”.
Это правило позволяет ответить на вопрос : за сколько лет удвоится вклад, помещенный в банк под i процентов годовых?
«правило 100» используется в случае простых процентов
2So = S0(1+Ti)
Ln2 = Ln (1+Ti)
2 = 1+Ti, откуда T=1/i, или (если I выражена в процентах): T=100/ I (за T=100/ i примерно происходит удвоение капитала в схеме простых процентов при ставке i, ставка задается в процентах)
Пример : за сколько лет удвоится капитал в схеме простых процентов
При ставе 18 % годовых?
T= 100/ i = 100/18 = 5,56 лет
14. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в n раз при данной процентной ставке I в случае сложных процентов.
Это правило можно получить из формулы сложных процентов .
nSo = So (1+ i)^ T
Ln n = Ln (1+i)
Разлагая Ln (1+i) по степеням I, получим Ln(1+i) ≈i. Следовательно, Ln n ≈ iT, откуда
T=Ln n/i.
Учёт следующего (квадратичного) по i члена в разложении Ln(1+i) ≈ I-i²/2 дает результат
T≈ ln n / i (1- i/2) увеличивающий срок роста капитала в n раз T≈ ln n / i (1+ i/2) на
ΔT≈ ln n / 2
Таким образом, при рассмотрении задачи об увеличении капитала в произвольное число раз (n) в схеме мложных процентов при данной процентной ставке I необходимо в «Правиле 70» лишь сделать замену
Ln 2 —> Ln n
15. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в n раз при данной процентной ставке i в случае простых процентов.
В случае простых процентов имеем
nS0 = S0(1+Ti)
отсюда n = 1+Ti, откуда T= (n-1)/i
Например, при ставке 10 5 годовых вклада вырастет в 4 раза за T = (n-1)/i= 3/0,1=30 лет
16. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в n раз при данной процентной ставке i в случае кратного начисления сложных процентов.
Увеличение капитала в n раз
Если
используется приближение
,
то
При
N=1
17. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в n раз при данной процентной ставке i в случае непрерывных процентов.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
А
т.к.
и
то
18. Выведите формулу Фишера.
α – уровень инфляции (стоимость товаров увеличивается в (1+α) раз)
Деньги обесцениваются в (1+α) раз
S0,
S1=S
Реальная сумма:
iα – процентная ставка с учетом инфляции
Формула Фишера:
α – мало => i2 = i - α
19.Темпы
инфляции за последовательные периоды
времени
равны
соответственно
.
Найдите темп инфляции за период
Если
n=2
-
синергетический эффект
20.Дайте определение и выведите формулу для среднего срока финансового потока
Определение: средним сроком денежного потока относительно ставки дисконтирования i называется момент времени t, такой что S(t) = C1+C2+…+Cn.
CF = {(t1, C1),…,(tn,Cn)}
=
+
+…+
=
= C1(1+i)-t1
+ C2(1+i)-t2
+…+
Cn(1+i)-tn
= (C1+C2+…+Cn)*(1+i)-t
= C1(1-t1i)
+ C2(1-t2i)
+…+Cn(1-tni)
= (C1+C2+…+Cn)(1-ti)
= i(C1t1
+
C2t2+…+Cntn)
≈ i(C1+C2+…+Cn)t
t
≈
21.Дайте определение внутренней нормы доходности. Исследуйте зависимость чистого приведенного дохода (NPV) от ставки приведения (принятой нормы доходности) i. Приведите качественный график данной зависимости.
Внутренняя норма доходности ( IRR ) — это процентная ставка, при которой чистый дисконтированный доход (NPV) равен 0. NPV рассчитывается на основании потока платежей, дисконтированного к сегодняшнему дню.
Иначе говоря, для потока платежей CF, где CFt — платёж через t лет (t = 1,...,N)
Ск – баланс инвестиционных затрат и чистого дохода за к-ый период.
NPV(i)=
+
+…+
NPV(i)>0 → доходы окупают расходы
NPV<0 → доходы не окупают расходы
Рассмотрим CF ={ (0;-к), (1;С1), (2;С2),…, (n;Cn)}, k>0, Ck>0, ᴲk: Ск>0
NPV(i)
= -k +
+
+…+
