44. Сформулируйте правила Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Приведите

примеры.

Пусть матрица последствий есть Q=. Правило Вальда (крайнего пессимизма). Рассматривая i-ое решение, будем считать, что складывается ситуация, приносящая самый малый доход: . Выберем решение i0 с наибольшим . Правило Вальда рекомендует принять решение i0 такое, что i0 = . В примере а1=3, а2=6, а3=1, максимальным из которых является 6, значит рекомендовано второе решение.

Правило Сэвиджа (минимального риска)

Проанализируем матрицу рисков R= (каждый элемент получен путём вычета из максимального элемента соответствующего столбца). Рассматривая i-ое решение, будем считать, что складывается ситуация максимального риска . Выберем решение i0 с наименьшим .

Правило Сэвиджа рекомендует принять решение i0 такое, что i0 = . В примере b1=7, b2=2, b3=8, минимальным из которых является 2, значит рекомендовано второе решение.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации)

Принимается решение i, при котором достигается максимум , где 0 Значение выбирается из субъективных соображений. При близком к 1, правило Гурвица приближается к правилу Вальда. При =1/2: с1=1/2(3+6)=4,5, с2=1/2(6+10)=8, с3=1/2(1+9)=5. Максимальным является значение 8, следовательно – второе решение.

Итак, все 3 правила рекомендуют второе решение, так что его и принимаем.

45. Выведите формулу доходности портфеля из n бумаг через доходности отдельных бумаг.

Если же учесть, что портфель состоит из N числа разных по стоимости ценных бумаг, то уравнение доходности можно записать в виде.

где р — среднеожидаемая доходность портфеля; х i — количество ценных бумаг i вида; r i —ожидаемая доходность ценной бумаги i вида; N — количество ценных бумаг в портфеле ( i = 1, 2, 3,...N ).

46. Как определяется доходность и риск портфеля из n бумаг?

Доходность портфеля Х из n ценных бумаг: = + , где - доходности ценных бумаг, входящих в портфель Х.

Х =

= = (

µ - фиксирован., * X

Для вычисления квадрата риска воспользуемся формулой: * V * X, где V – ковариационная матрица.

47. Опишите портфель из 2х бумаг в случае полной корреляции.(ϸ₁₂=1)

R2=aR1+b

Ϭ_x²=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂²+2x₁x₂=(x₁Ϭ₁+x₂Ϭ₂)²

Ϭ_x=x₁b₁+x₂b₂, x₁=t, x₂=1-t

ϻ_x=tϻ₁+(1-t)ϻ₂

Ϭ_x=tϬ₁+(1-t)Ϭ₂

Ϭ

Ϭ₂ B

ϸ=1

Ϭ₁ A ϸ=-1

ϻ₁ ϻ₂ ϻ

Множество допустимых портфелей X определяется отрезком, соединяющим точки (ϻ₁, Ϭ₁) и (ϻ₂,Ϭ₂) (отрезок AB).

Портфель с max доходностью: X(0;1)состоит из ц.б. B.

48. Опишите портфель из 2х бумаг в случае полной автокорреляции. (ϸ₁₂=-1)

Ϭ²=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂²+2ϸx₁x₁Ϭ₁Ϭ₂=(x₁Ϭ₁-x₂Ϭ₂)²

Ϭ=|x₁Ϭ₁-x₂Ϭ₂|

X₁Ϭ₁=x₂Ϭ₂=0

X₁Ϭ₁-(1-x₁)Ϭ₂=0

X₁(Ϭ₁+Ϭ₂)=Ϭ₂

X₁=Ϭ₂/(Ϭ₁+Ϭ₂); x₂=Ϭ₁/(Ϭ₁+Ϭ₂)

X=( Ϭ₂/(Ϭ₁+Ϭ₂); Ϭ₁/(Ϭ₁+Ϭ₂))

ϻ_x0=ϻ₀= Ϭ₂/(Ϭ₁+Ϭ₂)ϻ₁+ Ϭ₁/(Ϭ₁+Ϭ₂)ϻ₂=(Ϭ₂ϻ₁+Ϭ₁ϻ₂)/(Ϭ₁+Ϭ₂)

ϻ_x=x₁ϻ₁+x₂ϻ₂

Ϭ_x=|Ϭ₁x₁-Ϭ₂x₂|

X₁+x₂=1

49. Найдите портфель минимального риска из 2х независимых бумаг и его доходность.

ϸ₁₂=0

Ϭ²=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂² min

X₁+x₂=1

F(x) min

y(x)=0

L(x,λ)=f(x)+λg(x)

L=x₁²Ϭ₁²+x₂²Ϭ₂²+λ(x₁+x₂)

=2x₁Ϭ₁²+λ=0 (1)

=2x₂Ϭ₂²+λ=0 (2)

x₁+x₂-1=0 (3)

(1=2) x₁Ϭ₁²= x₂Ϭ₂²

x₁Ϭ₁²=(1-x₁)Ϭ₂²

x₁= ; x₂=

X=(

ϻx₁=x₁ϻ₁+x₂ϻ₂=

риск=Ϭ_x====

портфель min риска (ϻ_x,b_x)=(

50. Опишите свойства портфеля из двух независимых бумаг, одна из

которых безрисковая.

Пусть одна из 2х цен.бумаг портфеля (П) безрисковая.

А(ϻ1;0), В(ϻ1;ϻ2), дох-ть бумаги А<дох-ти В.

Исходные уравнения им.вид:ϻ=ϻ1х1+ϻ2х2; Ϭ=Ϭ2х2;

Х1+Х2=1.

Допустимое множеств портфелей задается уравнением и является отрезком:

ϻ=ϻ1(1-t)+ϻ2t=ϻ1+(ϻ2-ϻ1)t

вывод:1)Допустимое множ-во П не зависит от коэффициента корреляции; 2)Допуст.мн-во П сузилось с треугольника до отрезка.

51. Выведите и изобразите на рисунке зависимость доходности и рис-

ка портфеля из двух бумаг, одна из которых безрисковая, от доли безрисковой бумаги( от х).

Из рисунка видно, что риск П линейно убывает от Ϭ2 при х1=0 до нуля при х1=1, при этом дох-ть также линейно убывает от ϻ2 при х1=0 до ϻ1 при х1=1.

Ϭ Ϭ,ϻ

В ϻ2

Ϭ2 ϻ1

Ϭ2

А

0 ϻ1 ϻ2 ϻ 0 х1

1

52. Приведите математическую постановку задачи нахождения портфеля минимального риска при заданной доходности.

А(ϻ1,Ϭ1)

В(ϻ2,Ϭ2), ϻ1≠ϻ2, Х=(х1,х2)

Фиксируем дох-ть ϻ

П однозначно находится как решение системы

ϻ=ϻ1х1+ϻ2х2;

х1+х2=1.

↓

Х2=1-х1

ϻ=ϻ1х1+ϻ2(1-х1)  ϻ=ϻ2+х1(ϻ1-ϻ2).

Портфель им.вид:

х1=(ϻ-ϻ2)/(ϻ1-ϻ2)

х2=(ϻ1-ϻ)/(ϻ1-ϻ2)

здесь П определяется не рисками, а дох-тями. Вместо х подставляем в квадрат риска портфеля.

Ϭ²=x1 Ϭ² 1+x2Ϭ² 2+2ρ₁₂x1x2Ϭ1Ϭ2=(Ϭ² 1(ϻ-ϻ2)^2+ Ϭ² 2(ϻ-ϻ1)^2 – 2ρ Ϭ1Ϭ2(ϻ-ϻ1)(ϻ-ϻ2))/(ϻ1-ϻ2)^2

Это как связь риска П с его дох-тью.

Но если ϻ1=ϻ2, тогда будет уравнение минимальной границы П. Общий случай(ρ любое):

Ϭ²=( Ϭ² 1(ϻ-ϻ2)^2+Ϭ² 2(ϻ-ϻ1)^2))/(ϻ1-ϻ2)^2.

При увеличении коэф.корреляции от -1 до1 происходит уменьшение ϻ. График более вытянутый к оси абсцисс.т.е. при фиксированном изменении ожидаемой дох-ти увеличение риска становится меньше.