22. Выведите формулы для коэффициентов приведения и наращения

ренты постнумерандо.

Найдем текущую стоимость А потока платежей {(0,0),(1,R),(2,R),…,(n,R)} относительно процентной ставки i. В соответствии с определение:

^А= R/(1+i)+R/(1+i)² +…+R/(1+i)³

^{Сумма справа представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем (1+i) -1 и первым членом} R/(1+i)

Суммируя, получаем

A = R* ((1- (1+i) ^-n )/ i ))

Множитель при R в правой части называю коэффициентом приведения годовой ренты.

Коэффициент наращения годовой ренты соответственно будет равен

S = R* ((1+i) ^-n -1 )/ i ))

Исходя из того что

S = R(1+i)^n-1 +R(1+i)^n-2+…+R

Коэффициенты приведения и наращения ренты постнумерандо получаются путем умножения на коэффициент 1+i

23.Пусть известны n, I, r. Найдите наращенную сумму s и приведенную величину a годовой ренты. Приведите пример.

В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого

года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются

проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на

расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года, R = 10 000 000 руб.,

i = 0,10 .

Найти S = ? А = ?

Вычисления по формулам :

S = 10 000 000*[(1+ 0,1)³- 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб

А = 10 000 000*[1 - (1+0,1) ^(-3) ]/0,1 =24 868 519,91 руб.

24.Пусть известны a, I, r. Найдите срок ренты n. Приведите пример.

Организация взяла кредит в размере 30 000 000

руб. с условием погашения ежегодными платежами по 6 000 000 руб.

в конце года (постнумерандо) и начислением по сложной процентной

ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты.

Известно:

A = 30 000 000 руб.,

R = 6 000 000 руб.,

i = 0,15 .

Найти n = ?

Решение

По формуле находим:

n = - ln (1-30 000 000*0,15/6 000 000) / ln(1+0,15) = 9,92 года.

25.Пусть известны S, i, R. Найдите срок ренты n. Приведите пример.

S,i,R – n?

N=Ln(1+Si/R)/Ln(1+i)

Пример:

S=2000

R=100

I=15%

N=Ln(1+2000*0,15\100)\Ln(1+0.15)=Ln4\Ln1.15=1.386\0.140=9.9=9

Составляет 9 лет.

26. Пусть известны n, i, A. Найдите рентный платеж R. Приведите

пример.

R= A\a(n,i)

Пример:

N = 5года

A = 100000

I = 12%

А =R* (1-(1+i)^-n)\i

100000=R*(1-(1+0.12)^-5\0.12

R=27740,97

27. Пусть известны n, i, S. Найдите рентный платеж R. Приведите

пример.

R= S\S(n,i)

Пример:

N = 4 года

S = 1000000

I = 10%

10^6 = 500000\(1+i)+300000\(1+i)^2+250000\(1+i)^3+X\(i+1)^4

Пусть 1\(1+i)

4545454,45+247933,88+187828,7+Х\1,4641=10^6

Х\1,4641=109691,97

X=160600

28. Найдите приведенную величину и наращенную сумму вечной ренты.

Вечная рента: {(0,0), (i,R), (2,R), …, (n,R), …}

PV=R/(1+i) + R/(1+i)² + … + R/(1+i)ⁿ + … = R/(1+i) * [1+1/(1+i) + … + 1/(1+i)ⁿ + …] = R/(1+i) * 1/(1-1/(1+i)) = R/(1+i) * 1/((1+i-1)/(1+i)) = R/i

B₁, [a]<1 следовательно бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

S = b1 / (1-q)

Коэффициенты привидения и наращивания ренты за несколько периодов.

A1 = {(0,0), (1,R), … , (n1,R)} – срок n1.

A2 = {(n1+1,R), …, (n1+n2, R)} – срок n2.

A = A1 +A2

PV(A)=Ra(n,i), PV(A1)= Ra(n1, i) PV (A2)=Ra(n2, i)

Ra(n,i) = Ra(n1,i) + Ra(n2,i) * (1+i)^-n

A(n,i) = a(n1,i) + a(n2,i) (1+i)^-n1

S(n,i) = S(n1,i) (1+i)ⁿ² + S(n2,i)

Общий случай: n1, n2, …, n_k, Ʃn_i=n

A(n,i)=a(n1,i)+a(n2,i)(1+i)^-n + … +a(n_k ,i)(1+i)^n1-n2-…-n_k