29. Вывести формулы для приведенной и наращенной величины р-срочной ренты постнумерандо.

CF={(0,0), (1,R), … , (n,R)}

PV(CF) = R/(1+i) + R/(1+i)²+ … +R/(1+i)ⁿ= (R/(1+i)) * (1+ (1/(1+i)) +…+(1/(1+i)^n-1))= (R/(1+i))* (1+q+…+q^n-1)= R/(1+i) * ((qⁿ-1)/(q-1)) = (R/(1+i))* ((1+i)^-n-1)/(1/(1+i)-1)) = (R/(1+i) * ((1-(1+i)^-n)/ ((1+i-1)/(1+i)) = R* ((1-(1+i)^-n)/i)

PV(CF) = R*((1-(1+i)^-n)/i)

PV(CF) = -при t=0

FV(CF)= - при t=n

PV_t2(CF)= PV_t1*(1+i)^t2-t1

FV(CF) = PV(CF) * (1+i)ⁿ - FV(CF)=R* ((1+i)ⁿ-1)/i)

A(n,i) = (1-(1+i)^-n)/i – коэффициент привидения

S(n,i)= ((1+i)ⁿ-1)/i) - коэффициент наращения ренты.

Геометрическая прогрессия b1,q

B_n=b₁q^n-1

S_n= b₁+…+b_n=b₁* ((qⁿ-1)/(q-1))

30. Напишите формулы для приведенной величины и наращенной сумм p-срочной ренты постнумерандо в случае k-кратного начисления процентов. Приведите пример ее применения.

Для р-срочной ренты: A=R/P * ((1+i)^-n/(1+i)^1/p-1)

S=R/p * [((1+i)ⁿ-1)/((1+i)^1/p-1)]

Если в р-срочной ренте годовая ставка i начисляется к раз в году, то

A=R/p * (1-(1+i/k)^-kp)/((1+i/k)^k/p-1)

S= R/p * ((1+i/k)^nk-1) / ((1+i/k)^k/p-1)

При непрерывном начислении процентов (к стремится к бесконечности) (т.к. Lim (1+a/k)^k=e^a)

A= R/p * ((1-e^-in)/(e^i/p-1)) S= R/p * ((eⁱⁿ-1)/(e^i/p-1))

31. Во сколько раз больше будет наращенная сумма в конце n–ого периода при ежепериодном (в конце периода) платеже r, чем при разовом платеже r в начальный момент времени?

Пусть R- разовый платеж, в момент времени t, FV- наращенная сумма

По формуле FV=R* (1+i)ⁿ -1

i

отсюда (1+i)ⁿ -1 это коэффициент приращения S(n,i) следовательно

i

FV>R в S(n,i) раз

32. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой ренты постнумерандо.

FV=R* (1+i)ⁿ -1 =R*a(n,i)

i

PV= R*1- (1+i)^-n = R*S(n,i)

i

следовательно FV=PV*S(n,i)

a(n,i)

раскрыв значения S и a получим

FV=PV* ( (1+i)ⁿ -1 : 1- (1+i)^-n )

i i

при делении мы получим сокращения и видим что

FV= PV*(1+i)ⁿ следовательно мы видим что FV и PV непосредственно связаны ЧТД)

33. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой ренты постнумерандо с ежеквартальным начислением процентов.

CF=(c/p; c/p;…c/p)

V=c/p=(1-(1+i)-n)/(1+i)1/p-1

В случае с ежеквартальным начислением:

(1+i) => (1+1/k)k; k=4

PV=C/P * (1-(1+i/k)-kn)/(1+i/k)k/p-1); k=4

34. Найдите связь между приведенной величиной и наращенной суммой p–срочной ренты постнумерандо с ежемесячным начислением процентов.

CF=(c/p; c/p;…c/p)

V=c/p=(1-(1+i)^-n)/(1+i)^1/p-1

В случае с ежемесячным начислением:

(1+i) => (1+1/k)^k; k=12

• PV=C/P * (1-(1+i/k)^-kn)/(1+i/k)^k/p-1); k=12

35. Сформулируйте принцип финансовой эквивалентности для различных видов конверсии рент.

Основным принципом конверсии платежей является принцип финансовой эквивалентности. Он заключается в неизменном финансовом взаимоотношении сторон в случае замены финансовых обязательств, - при замене обязательств и соблюдении при этом принципов финансовой эквивалентности ни один из участников сделки не должен получить дополнительной выгоды или потерпеть ущерб.

36. Замените годовую ренту с параметрами 1 1 R ,n ,i p–срочной рентой

с параметрами 2 2 R ,n ,i . Приведите пример.

PV¹=R_1* (1-(1+i₁)^-n1/i₁)

PV²=R₂/p*(1-(1+i₂)^-n2/(1+i₂)^1/p-1

PV¹=PV²

Пример.

Заменить обычную (годовую) ренту с параметрами R₁=200 n=5 i=10% срочной (квартальной) рентой с параметрами R₂₌=100 i=10%

Найдем приведенную величину годовой ренты:

A=R₁*(1-(1+i)^-n/i)=200*(1-(1+0,1)^-5)/0,1=200*3,79=758

Находим срок четырехсрочной ренты

N₂=ln(1-A/R₂*(1+i)^1/p-1))^-1/ln(1+i)=ln(1-758/100*(1+0,1)^1/4-1)^-1/ln(1+0,1)=1,699/0,0953=17,83 лет