5.2 Синтез дискретного корректирующего звена

Так как в данной САУ предусматривается установка цифрового микроконтроллера, который может осуществлять вычисление сигнала рассогласования, а при необходимости реализовывать программную коррекцию системы, то следует рассчитать программное корректирующее устройство.

Выберем интервал опроса датчиков (период дискретизации) 0.001 с для того чтобы обеспечить выполнение требуемого закона управление за время переходного процесса 0.04 с

Перейдем от непрерывной модели объекта к дискретной с интервалом дискретизации 0.001 c, используя экстраполятор нулевого порядка, для этого воспользуемся в программе MATLAB функцией преобразования непрерывной модели системы в дискретную (с2d) [5].

Ts=0.001;Wdis=c2d(Wp,Ts,'zoh') , получим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:

. (38)

Для проверки качества выполненной аппроксимации сравним частотные характеристики исходной непрерывной и полученной дискретной моделей, изображенные на рисунке 15. ЛАЧХ дискретной модели строится в зависимости от псевдочастоты λ, при этом сначала проводится ω-преобразование заменяя z=(1+ω)/(1-ω), а затем осуществляется переход от W(ω) к частотному выражению передаточной функции через псевдочастоту λ путем замены ω=0.5Tsλj.

Из рисунка 15 следует, что аппроксимация выполнена верно.

Рисунок 15 – ЛАЧХ непрерывной и дискретной разомкнутых систем.

Для синтеза дискретного регулятора построим корневой годограф исследуемой системы – рисунок 16.

Рисунок 16 – Корневой годограф дискретной системы.

Необходимое и достаточное условие устойчивости дискретных систем формулируется следующим образом: замкнутая импульсная система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса [2].

Из корневого годографа следует, что с увеличением коэффициента усиления полюсы замкнутой системы быстро выходят за пределы единичной окружности и система становится неустойчивой. Поэтому введем некоторую динамическую коррекцию в виде дискретного компенсатора с передаточной функцией:

, (39) для обеспечения заданных требования подберем коэффициенты k, a и b.

То есть получим корневой годограф, изображенный на рисунке 17.

Рисунок 17 – Корневой годограф скорректированной дискретной системы.

Откуда k=380, (40)

a=-0.596, (41)

b=0.506. (42)

Рисунок 18 – Переходный процесс в скорректированной замкнутой дискретной системе.

Прямые оценки качества переходной характеристики:

1. Время регулирования t_p=0.02 c,

2. Перерегулирование σ=(1.2-0.974)/0.974= 23 %.

Данные показатели качества удовлетворяют заданным требованиям.

С учетом выражения (39) - (42) запишем дискретную передаточную функцию корректирующего устройства:

. (43)

Тогда дискретная передаточная функция разомкнутой скорректированной системы:

. (44)

Построим ЛАЧХ исходной непрерывной разомкнутой системы и дискретной разомкнутой скорректированной системы.

Рисунок 19 – ЛАЧХ непрерывной и дискретной скорректированной разомкнутых систем.

Согласно частотному критерию устойчивости импульсных систем, аналогичному критерию устойчивости Найквиста для непрерывных систем, который формулируется: если разомкнутая импульсная система устойчива, то замкнутая импульсная система регулирования устойчива, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку (-1, j0) [2].

Рисунок 20 – АФЧХ разомкнутой дискретной системы.

По рисунку 20 определим запас по амплитуде, составляющий 26.4 дБ, а также запас по фазе, составляющий 49.2 градуса. То есть скорректированная дискретная система отвечает требованиям технического задания.