§ 4.13. Система рівнянь Максвелла. Електромагнітне поле

Узагальнивши теоретично закони електромагнетизму, що були відкриті дослідним шляхом, та доповнивши їх гіпотезою про існування струмів зміщення, Максвелл склав систему чотирьох фундаментальних рівнянь електродинаміки, які описують усі явища електромагнетизму. В інтегральній формі вони мають вигляд:

(4.62)

Зміст першого і третього рівнянь обговорювався в §§ 4.11, 4.12, відповідно. Друге рівняння Максвелла – це теорема Гауса для електростатичного поля (див. розділ 3, ч.1). Четверте рівняння Максвелла – це теорема Гауса для магнітного поля (див. § 4.6).

Систему рівнянь Максвелла слід доповнити трьома допоміжними рівняннями, які встановлюють зв'язок між фізичним величинами, що використовуються в (4.62)

5. 

6. (4.63)

7. 

Останнє рівняння – закон Ома в диференціальній формі.

Одним з важливих висновків з аналізу рівнянь Максвелла є той, що змінні електричне та магнітне поля не можуть існувати окремо. Змінне електричне поле збуджує в просторі змінне магнітне поле і, навпаки, змінне магнітне поле викликає появу змінного електричного поля. Змінне електричне і нерозривно пов’язане з ним магнітне поля утворюють єдине електромагнітне поле.

Розділ 5. Коливання і хвилі

§ 5.1. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань

К

Рис. 5.1

оливаннями називають процеси, які повторюються з певною періодичністю. В залежності від механізму виникнення коливань розглядають механічні, електромагнітні, електромеханічні і т. п. коливання, а в залежності від характеру сил, що діють на коливну систему, – вільні (власні), згасаючі, вимушені тощо.

Розгляд почнемо з власних механічних коливань горизонтального пружинного маятника, який складається з тіла масою m, закріпленого до кінця пружини, що жорстко прикріплена до стінки (рис. 5.1).

Якщо вивести тіло з положення рівноваги, то на нього почне діяти повертаюча сила пружної деформації пружини, яка задається законом Гука . Якщо знехтувати тертям і масою пружини у порівнянні з масою тіла, то при невеликих деформаціях пружини закон руху – ІІ закон Ньютона – запишеться як

, (5.1)

де k – коефіцієнт пружності (жорсткість пружини), х – зміщення тіла від положення рівноваги, а_х – прискорення вздовж осі Х. В подальшому усяку силу, пропорційну до зміщення і напрямлену до положення рівноваги, будемо називати квазіпружною, незалежно від її природи.

Оскільки прискорення , то (5.1) можна переписати як

або

. (5.2)

У рівнянні (5.2) , тому можна ввести позначення

, (5.3)

де називають власною циклічною частотою коливань.

Підставляючи (5.3) у (5.2), одержимо диференціальне рівняння коливань не тільки пружинного маятника, але усякого тіла (матеріальної точки), на яке діє квазіпружна сила:

. (5.4)

Легко показати, що розв’язком цього рівняння є гармонічні функції (рис. 5.2)

або . (5.5)

К

Рис. 5.2

оливання, в яких зміна фізичної величини в залежності від часу відбувається за законом синуса або косинуса, називаються гармонічними. В (5.5): А – амплітуда коливань – найбільше значення коливної фізичної величини (у даному випадку, максимальне зміщення від положення рівноваги), – власна циклічна частота, – фаза коливань,  – початкова фаза.

Проміжок часу, протягом якого здійснюється одне повне коливання, називається періодом коливань Т. Зрозуміло, що , оскільки гармонічні функції повторюються через 2. Звідси циклічна частота

(5.6)

де – лінійна частота, як кількість коливань, здійснених за одиницю часу.

Для пружинного маятника , тому період коливань

. (5.7)