6. Оценка качества управления и выбор регулятора

Качество управления оценивается на основе критериев и . Согласно равенству (39) в случае рассмотренном в примере 5, при использовании ПИД-регулятора критерий удается уменьшить более чем в три раза, по сравнению со случаем применения ПИ-регулятора. Но чтобы сделать окончательный вывод о целесообразности использования ПИ или ПИД-регулятора, необходимо проанализировать, в каком из этих случаев величина критерия окажется меньшей. Для этого воспользуемся АЧХ замкнутой системы , т.к. ее квадрат входит в выражение (6). Поскольку спектральная плотность возмущающих воздействий обычно неизвестна, то воспользуемся гипотезой о низкочастотном характере возмущений и в этом случае оценим эффективность применения каждого регулятора.

Данные о КЧХ управляемого объекта представлены в таблицах 1а, 1б и 3., а значения параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов определены в пункте 4 курсового проекта.

Воспользовавшись программой CHASTXAR построим графики АЧХ замкнутой системы , которые представлены на рис. 6.

Результаты расчета представлены ниже:

АЧХ замкнутой системы с ПИ регулятором (фильтрация)

Azs(w)=0.0220 w=0.10

Azs(w)=0.0448 w=0.20

Azs(w)=0.0684 w=0.30

Azs(w)=0.0929 w=0.40

Azs(w)=0.1181 w=0.50

Azs(w)=0.1442 w=0.60

Azs(w)=0.1711 w=0.70

Azs(w)=0.1990 w=0.80

Azs(w)=0.2277 w=0.90

Azs(w)=0.2574 w=1.00

Azs(w)=0.2881 w=1.10

Azs(w)=0.3198 w=1.20

Azs(w)=0.3526 w=1.30

Azs(w)=0.3866 w=1.40

Azs(w)=0.4219 w=1.50

Azs(w)=0.4585 w=1.60

Azs(w)=0.4966 w=1.70

Azs(w)=0.5363 w=1.80

Azs(w)=0.5778 w=1.90

Azs(w)=0.6211 w=2.00

Azs(w)=0.6665 w=2.10

Azs(w)=0.7141 w=2.20

Azs(w)=0.7641 w=2.30

Azs(w)=0.8166 w=2.40

Azs(w)=0.8719 w=2.50

Azs(w)=0.9301 w=2.60

Azs(w)=0.9915 w=2.70

Azs(w)=1.0560 w=2.80

Azs(w)=1.1238 w=2.90

Azs(w)=1.1950 w=3.00

Azs(w)=1.2695 w=3.10

Azs(w)=1.3470 w=3.20

Azs(w)=1.4272 w=3.30

Azs(w)=1.5097 w=3.40

Azs(w)=1.5935 w=3.50

Azs(w)=1.6777 w=3.60

Azs(w)=1.7610 w=3.70

Azs(w)=1.8417 w=3.80

Azs(w)=1.9181 w=3.90

Azs(w)=1.9882 w=4.00

Azs(w)=2.0503 w=4.10

Azs(w)=2.1025 w=4.20

Azs(w)=2.1438 w=4.30

Azs(w)=2.1732 w=4.40

Azs(w)=2.1905 w=4.50

Azs(w)=2.1962 w=4.60

Azs(w)=2.1912 w=4.70

Azs(w)=2.1767 w=4.80

Azs(w)=2.1542 w=4.90

Azs(w)=2.1252 w=5.00

Azs(w)=2.0913 w=5.10

Azs(w)=2.0538 w=5.20

Azs(w)=2.0140 w=5.30

Azs(w)=1.9728 w=5.40

Azs(w)=1.9312 w=5.50

Azs(w)=1.8897 w=5.60

Azs(w)=1.8488 w=5.70

Azs(w)=1.8089 w=5.80

Azs(w)=1.7703 w=5.90

Azs(w)=1.7331 w=6.00

Azs(w)=1.6974 w=6.10

Azs(w)=1.6633 w=6.20

Azs(w)=1.6308 w=6.30

Azs(w)=1.5999 w=6.40

Azs(w)=1.5705 w=6.50

Azs(w)=1.5427 w=6.60

Azs(w)=1.5163 w=6.70

Azs(w)=1.4913 w=6.80

Azs(w)=1.4676 w=6.90

Azs(w)=1.4452 w=7.00

Azs(w)=1.4241 w=7.10

Azs(w)=1.4040 w=7.20

Azs(w)=1.3851 w=7.30

Azs(w)=1.3671 w=7.40

Azs(w)=1.3501 w=7.50

Azs(w)=1.3340 w=7.60

Azs(w)=1.3188 w=7.70

Azs(w)=1.3044 w=7.80

Azs(w)=1.2907 w=7.90

Azs(w)=1.2778 w=8.00

Azs(w)=1.2655 w=8.10

Azs(w)=1.2539 w=8.20

Azs(w)=1.2429 w=8.30

Azs(w)=1.2324 w=8.40

Azs(w)=1.2225 w=8.50

Azs(w)=1.2130 w=8.60

Azs(w)=1.2041 w=8.70

Azs(w)=1.1956 w=8.80

Azs(w)=1.1875 w=8.90

Azs(w)=1.1798 w=9.00

Azs(w)=1.1725 w=9.10

Azs(w)=1.1655 w=9.20

Azs(w)=1.1589 w=9.30

Azs(w)=1.1526 w=9.40

Azs(w)=1.1466 w=9.50

Azs(w)=1.1409 w=9.60

Azs(w)=1.1354 w=9.70

Azs(w)=1.1302 w=9.80

Azs(w)=1.1252 w=9.90

Azs(w)=1.1204 w=10.00

Azs(w)=1.1158 w=10.10

Azs(w)=1.1114 w=10.20

Azs(w)=1.1072 w=10.30

Azs(w)=1.1032 w=10.40

Azs(w)=1.0993 w=10.50

Azs(w)=1.0956 w=10.60

Azs(w)=1.0920 w=10.70

Azs(w)=1.0885 w=10.80

Azs(w)=1.0852 w=10.90

Azs(w)=1.0819 w=11.00

Azs(w)=1.0787 w=11.10

Azs(w)=1.0757 w=11.20

Azs(w)=1.0727 w=11.30

Azs(w)=1.0697 w=11.40

Azs(w)=1.0669 w=11.50

Azs(w)=1.0641 w=11.60

Azs(w)=1.0613 w=11.70

Azs(w)=1.0586 w=11.80

Azs(w)=1.0559 w=11.90

Azs(w)=1.0533 w=12.00

Azs(w)=1.0507 w=12.10

Azs(w)=1.0481 w=12.20

Azs(w)=1.0455 w=12.30

Azs(w)=1.0429 w=12.40

Azs(w)=1.0403 w=12.50

Azs(w)=1.0378 w=12.60

Azs(w)=1.0352 w=12.70

Azs(w)=1.0326 w=12.80

Azs(w)=1.0300 w=12.90

Azs(w)=1.0274 w=13.00

Azs(w)=1.0248 w=13.10

Azs(w)=1.0221 w=13.20

Azs(w)=1.0194 w=13.30

Azs(w)=1.0167 w=13.40

Azs(w)=1.0140 w=13.50

Azs(w)=1.0112 w=13.60

Azs(w)=1.0085 w=13.70

Azs(w)=1.0057 w=13.80

Azs(w)=1.0028 w=13.90

Azs(w)=1.0000 w=14.00

Azs(w)=0.9971 w=14.10

Azs(w)=0.9941 w=14.20

Azs(w)=0.9912 w=14.30

Azs(w)=0.9882 w=14.40

Azs(w)=0.9853 w=14.50

Azs(w)=0.9822 w=14.60

Azs(w)=0.9792 w=14.70

Azs(w)=0.9762 w=14.80

Azs(w)=0.9732 w=14.90

Azs(w)=0.9701 w=15.00

Azs(w)=0.9671 w=15.10

Azs(w)=0.9640 w=15.20

Azs(w)=0.9610 w=15.30

Azs(w)=0.9580 w=15.40

Azs(w)=0.9550 w=15.50

Azs(w)=0.9520 w=15.60

Azs(w)=0.9491 w=15.70

Azs(w)=0.9462 w=15.80

Azs(w)=0.9433 w=15.90

Azs(w)=0.9405 w=16.00

Azs(w)=0.9378 w=16.10

Azs(w)=0.9351 w=16.20

Azs(w)=0.9325 w=16.30

Azs(w)=0.9299 w=16.40

Azs(w)=0.9275 w=16.50

Azs(w)=0.9252 w=16.60

Azs(w)=0.9229 w=16.70

Azs(w)=0.9208 w=16.80

Azs(w)=0.9188 w=16.90

Azs(w)=0.9170 w=17.00

Azs(w)=0.9152 w=17.10

А ЧХ замкнутой системы с ПИД регулятором (фильтрация)

Azs(w)=0.0054 w=0.10

Azs(w)=0.0111 w=0.20

Azs(w)=0.0170 w=0.30

Azs(w)=0.0231 w=0.40

Azs(w)=0.0295 w=0.50

Azs(w)=0.0363 w=0.60

Azs(w)=0.0433 w=0.70

Azs(w)=0.0507 w=0.80

Azs(w)=0.0585 w=0.90

Azs(w)=0.0666 w=1.00

Azs(w)=0.0752 w=1.10

Azs(w)=0.0843 w=1.20

Azs(w)=0.0938 w=1.30

Azs(w)=0.1039 w=1.40

Azs(w)=0.1145 w=1.50

Azs(w)=0.1257 w=1.60

Azs(w)=0.1375 w=1.70

Azs(w)=0.1500 w=1.80

Azs(w)=0.1631 w=1.90

Azs(w)=0.1770 w=2.00

Azs(w)=0.1917 w=2.10

Azs(w)=0.2072 w=2.20

Azs(w)=0.2235 w=2.30

Azs(w)=0.2407 w=2.40

Azs(w)=0.2589 w=2.50

Azs(w)=0.2779 w=2.60

Azs(w)=0.2979 w=2.70

Azs(w)=0.3189 w=2.80

Azs(w)=0.3410 w=2.90

Azs(w)=0.3640 w=3.00

Azs(w)=0.3880 w=3.10

Azs(w)=0.4131 w=3.20

Azs(w)=0.4391 w=3.30

Azs(w)=0.4661 w=3.40

Azs(w)=0.4941 w=3.50

Azs(w)=0.5229 w=3.60

Azs(w)=0.5525 w=3.70

Azs(w)=0.5829 w=3.80

Azs(w)=0.6140 w=3.90

Azs(w)=0.6457 w=4.00

Azs(w)=0.6779 w=4.10

Azs(w)=0.7106 w=4.20

Azs(w)=0.7436 w=4.30

Azs(w)=0.7769 w=4.40

Azs(w)=0.8104 w=4.50

Azs(w)=0.8439 w=4.60

Azs(w)=0.8775 w=4.70

Azs(w)=0.9111 w=4.80

Azs(w)=0.9445 w=4.90

Azs(w)=0.9779 w=5.00

Azs(w)=1.0110 w=5.10

Azs(w)=1.0440 w=5.20

Azs(w)=1.0768 w=5.30

Azs(w)=1.1094 w=5.40

Azs(w)=1.1418 w=5.50

Azs(w)=1.1740 w=5.60

Azs(w)=1.2060 w=5.70

Azs(w)=1.2378 w=5.80

Azs(w)=1.2695 w=5.90

Azs(w)=1.3011 w=6.00

Azs(w)=1.3325 w=6.10

Azs(w)=1.3638 w=6.20

Azs(w)=1.3950 w=6.30

Azs(w)=1.4261 w=6.40

Azs(w)=1.4571 w=6.50

Azs(w)=1.4880 w=6.60

Azs(w)=1.5188 w=6.70

Azs(w)=1.5494 w=6.80

Azs(w)=1.5798 w=6.90

Azs(w)=1.6100 w=7.00

Azs(w)=1.6400 w=7.10

Azs(w)=1.6697 w=7.20

Azs(w)=1.6991 w=7.30

Azs(w)=1.7282 w=7.40

Azs(w)=1.7568 w=7.50

Azs(w)=1.7849 w=7.60

Azs(w)=1.8125 w=7.70

Azs(w)=1.8396 w=7.80

Azs(w)=1.8660 w=7.90

Azs(w)=1.8919 w=8.00

Azs(w)=1.9170 w=8.10

Azs(w)=1.9415 w=8.20

Azs(w)=1.9652 w=8.30

Azs(w)=1.9882 w=8.40

Azs(w)=2.0106 w=8.50

Azs(w)=2.0322 w=8.60

Azs(w)=2.0531 w=8.70

Azs(w)=2.0734 w=8.80

Azs(w)=2.0930 w=8.90

Azs(w)=2.1122 w=9.00

Azs(w)=2.1308 w=9.10

Azs(w)=2.1490 w=9.20

Azs(w)=2.1669 w=9.30

Azs(w)=2.1846 w=9.40

Azs(w)=2.2021 w=9.50

Azs(w)=2.2195 w=9.60

Azs(w)=2.2371 w=9.70

Azs(w)=2.2547 w=9.80

Azs(w)=2.2727 w=9.90

Azs(w)=2.2911 w=10.00

Azs(w)=2.3100 w=10.10

Azs(w)=2.3296 w=10.20

Azs(w)=2.3499 w=10.30

Azs(w)=2.3711 w=10.40

Azs(w)=2.3934 w=10.50

Azs(w)=2.4168 w=10.60

Azs(w)=2.4414 w=10.70

Azs(w)=2.4675 w=10.80

Azs(w)=2.4951 w=10.90

Azs(w)=2.5244 w=11.00

Azs(w)=2.5555 w=11.10

Azs(w)=2.5885 w=11.20

Azs(w)=2.6235 w=11.30

Azs(w)=2.6607 w=11.40

Azs(w)=2.7001 w=11.50

Azs(w)=2.7418 w=11.60

Azs(w)=2.7858 w=11.70

Azs(w)=2.8323 w=11.80

Azs(w)=2.8813 w=11.90

Azs(w)=2.9325 w=12.00

Azs(w)=2.9860 w=12.10

Azs(w)=3.0416 w=12.20

Azs(w)=3.0989 w=12.30

Azs(w)=3.1575 w=12.40

Azs(w)=3.2169 w=12.50

Azs(w)=3.2763 w=12.60

Azs(w)=3.3348 w=12.70

Azs(w)=3.3912 w=12.80

Azs(w)=3.4441 w=12.90

Azs(w)=3.4920 w=13.00

Azs(w)=3.5329 w=13.10

Azs(w)=3.5651 w=13.20

Azs(w)=3.5867 w=13.30

Azs(w)=3.5957 w=13.40

Azs(w)=3.5909 w=13.50

Azs(w)=3.5711 w=13.60

Azs(w)=3.5358 w=13.70

Azs(w)=3.4852 w=13.80

Azs(w)=3.4201 w=13.90

Azs(w)=3.3420 w=14.00

Azs(w)=3.2527 w=14.10

Azs(w)=3.1545 w=14.20

Azs(w)=3.0495 w=14.30

Azs(w)=2.9401 w=14.40

Azs(w)=2.8282 w=14.50

Azs(w)=2.7158 w=14.60

Azs(w)=2.6044 w=14.70

Azs(w)=2.4951 w=14.80

Azs(w)=2.3889 w=14.90

Azs(w)=2.2865 w=15.00

Azs(w)=2.1882 w=15.10

Azs(w)=2.0945 w=15.20

Azs(w)=2.0054 w=15.30

Azs(w)=1.9210 w=15.40

Azs(w)=1.8412 w=15.50

Azs(w)=1.7659 w=15.60

Azs(w)=1.6949 w=15.70

Azs(w)=1.6280 w=15.80

Azs(w)=1.5651 w=15.90

Azs(w)=1.5060 w=16.00

Azs(w)=1.4504 w=16.10

Azs(w)=1.3982 w=16.20

Azs(w)=1.3491 w=16.30

Azs(w)=1.3029 w=16.40

Azs(w)=1.2596 w=16.50

Azs(w)=1.2188 w=16.60

Azs(w)=1.1805 w=16.70

Azs(w)=1.1446 w=16.80

Azs(w)=1.1108 w=16.90

Azs(w)=1.0791 w=17.00

Azs(w)=1.0493 w=17.10

Рис. 6. АЧХ замкнутой системы по каналу от входа до ошибки:

1 - система с ПИ регулятором;2 – система с ПИД регулятором.

Согласно рис. 6. для систем с ПИ и ПИД-регуляторами соответственно и , т.е. . Но, на всем интервале частот не выполняется неравенство

. (40)

Представим интеграл (6) в виде

, (41)

где

; (42)

; (43)

, (44)

а - частота, такая что

, (45) ; , (46) .

С учетом соотношений (45), (46) и выражений (42) – (44) приходим к выводу, что равенство (41) можно представить в виде

, (47) т.к. согласно (46) и (43), (44) имеют место равенства .

Если , то принимая во внимание выражение (47), а также неравенство (40) приходим к выводу, что при использовании ПИД-регулятора значение критерия будет больше, чем в случае применения ПИ-регулятора.

Следовательно, ПИД-регулятор в рассмотренном случае оказался менее предпочтительным по сравнению с ПИ регулятором, т.к. его применение противоречит выполнению требований (3) и (4).