1. Введение

Автоматизация производства является на современном этапе важнейшим фактором научно-технического прогресса во всех отраслях промышленности, в том числе пищевой.

Важной задачей автоматизации предприятий пищевой промышленности является создание локальных автоматических систем регулирования (АСР), характеризующимся высоким быстродействием, точностью и надежностью.

Принципы построения АСР являются общими независимо от природы регулируемой величины и конструкции регулирующей аппаратуры. Изучение и практическое использование этих принципов в ходе расчета реальной системы регулирования является целью выполнения настоящего курсового проекта.

При создании АСР производственных объектов основное значение имеет правильный выбор регуляторов и расчет оптимальных параметров их настройки. Эти задачи решаются на стадии проектирования АСР. Согласно методике, выработанной на основе теоретических исследований и проверенной в практике наладки и эксплуатации АСР, правильный выбор регуляторов и определение параметров их настройки требует знания динамических свойств объекта регулирования. Эти свойства управляемого объекта вполне определяются его комплексной частотной характеристикой (КЧХ) , отвечающей каналу управления, на вход которого подается управляющий сигнал , а на выходе регистрируется управляемая величина , причем - мнимая единица, - переменная времени, а - циклическая частота.

Значение величины определяется равенством

,

где

; .

Информацию о КЧХ объекта обычно получают экспериментально, причем этот эксперимент может быть как активным, так и пассивным. В процессе активного эксперимента на вход замкнутой системы управления наряду с сигналом задания подаются также специальные пробные воздействия , а при проведении пассивного эксперимента пробные воздействия отсутствуют.

Рис. 1. Активная идентификация объекта.

В пассивном случае ведется наблюдение за изменением величины при «естественном» изменении сигнала задания . Разумеется, пассивный эксперимент более предпочтителен, чем активный, т.к. при его проведении отсутствует какое-либо постороннее вмешательство в процесс управления. Однако далеко не всегда при проведении пассивного эксперимента можно определить значения КЧХ объекта в требуемом диапазоне частот . Поэтому на практике часто приходится использовать активный эксперимент.

Процесс определения динамических свойств объекта называется его идентификацией. Соответственно при использовании активных или пассивных методов изучения динамики объекта идентификация также называется активной или пассивной.

Целью расчета и исследования АСР является формирование такой системы, которая обеспечивала бы наилучшее (оптимальное) качество управления. При этом объект управления является заданным и задача по формированию оптимальной системы управления сводится к выбору наилучшего регулятора. На практике наибольшее распространение получили ПИ и ПИД-регуляторы, т.к. в большинстве случаев они оказались значительно более эффективными по сравнению с остальными. Поэтому при формировании оптимальной системы управления целесообразно ограничиться выбором между ПИ и ПИД-регуляторами, реализующих соответственно следующие законы управления:

; 1 , 2

где - коэффициент передачи регулятора; и - постоянные времени дифференцирования и интегрирования соответственно.

Чтобы выбор регулятора был обоснованным необходимо оценить качество управления, обеспечиваемое при использовании каждого из регуляторов (1) и (2) а затем выбрать из них наилучший.

Качество управления оценивают на основе статистических характеристик ошибки управления и , где - оператор математического ожидания, а - ошибка управления, причем

.

В установившихся режимах работы системы управления, когда сигнал задания в течение длительного времени остается неизменным, а активная идентификация объекта не проводится, значение ошибки зависит от возмущающего воздействия . В случае линейных систем многочисленные возмущающие воздействия можно заменить одним эквивалентным и считать, что оно поступает на вход замкнутой системы вместе с сигналом задания .

Параметры настройки регуляторов выбираются так, чтобы одновременно выполнялись следующие требования:

; (3)

. (4)

Чтобы обеспечить выполнение требований (3) и (4) надлежащим выбором значений параметров настройки регулятора необходимо установить зависимость величин и от этих параметров.

В тех случаях, когда величины и не зависят от времени, т.е. случайный процесс является стационарным, имеют место равенства

; (5)

, (6)

где - КЧХ замкнутой системы, соответствующая каналу на вход которого поступает возмущающее воздействие , а на выходе регистрируется сигнал ошибки ; - спектральная плотность возмущающего воздействия , причем

; (7)

. (8)

Значение величины в равенстве (7) устанавливается выражением

.

КЧХ регулятора в равенстве (8) определяется аналогично КЧХ объекта, т.е.

, (9)

где

; . (10)

Поскольку при использовании того или иного регулятора реализуемый им закон управления известен, то зависимость можно определить теоретически. Например, применив к выражению (2) преобразование Фурье получим

, (11)

где величины и определяются выражениями (10). На основании равенств (9) и (11) установим, что

. (12)

Таким образом, если заданы значения параметров настройки ПИД регулятора , и , то для любого , используя выражение (12), можно определить значение величины . При использовании ПИ регулятора выражение для его КЧХ можно получить, если в равенстве (12) положить, что . В результате имеем

. (13)

С учетом равенств (8), (12) и (13) выражение (5) представим в виде

. (14)

Принимая во внимание выражение (14) приходим к выводу, что для выполнения требования (3) необходимо выполнить следующее условие:

. (15)

Отметим, что выполнение условия (15) обеспечивает выполнение требования (3) при любых значениях величины и поэтому его применение позволяет оптимизировать качество управления даже при отсутствии информации о статистических характеристиках . Это свойство является весьма важным, т.к. изучение указанных характеристик зачастую оказывается не только весьма трудоемким, но и далеко не всегда возможным.

Согласно выражению (6) его минимум при любой спектральной плотности достигается при выполнении условия

, (16)

т.к. .

Однако условие (16) выполнить не удается, т.к. имеет место следующее равенство (теорема Весткотта):

. (17)

Как видно из (17) выполнение условия (16) в области низких частот приводит к тому, что в области высоких частот должно выполняться противоположное ему условие

. (18)

Поскольку возмущающие воздействия обычно наиболее интенсивны в области низких частот, то для выполнения требования (4) достаточно потребовать выполнения (16) лишь в этой области спектра , т.е.

; (19) ,

где - граничная частота интервала оптимальной фильтрации (подавления) возмущающих воздействий . Однако согласно выражению (6) фильтрация осуществляется при выполнении следующих неравенств:

; (20) ,

где - граничная частота интервала фильтрации возмущающих воздействий.

Диапазон частот, в котором система обладает фильтрующими свойствами, оказывается несколько шире, чем интервал оптимальной фильтрации, т.е. , да и определить значение величины значительно проще чем . Поэтому в дальнейшем при оценке эффективности систем управления будем использовать показатель .

Поскольку требования (3) и (4) должны выполняться одновременно, то важно убедиться в том, что выполнение условия (15) способствует выполнению условия (19). С этой целью разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности частоты , ограничившись при этом лишь первым членом данного разложения. В результате получим

. (21)

Как видно из выражения (21) первый член тейлоровского разложения минимизируется при выполнении условия (15). Следовательно, выполнение (15) обеспечивает выполнение условия (16) в малой окрестности частоты . Но в таком случае при выполнении (15) должно выполняться и условие (19), т.к. его выполнение достигается при некоторых фиксированных параметрах настройки регулятора.

С целью упрощения поиска оптимальных значений параметров настройки регулятора целесообразно заранее несколько сузить его область. Для этого необходимо учесть требование устойчивости системы управления, т.к. неустойчивая система заведомо неработоспособна и оптимизировать ее бессмысленно. Кроме того, ввиду возможных непредвиденных изменений параметров объекта система должна быть не просто устойчивой, но обладать некоторым запасом устойчивости. Для оценки запаса устойчивости удобно использовать показатель колебательности замкнутой системы , значение которого определяется выражением

, (22)

где

. (23)

Считают, что замкнутая система обладает требуемым запасом устойчивости, если выполняется следующее ограничение:

, (24)

где - предельно допустимое значение величины . На практике часто принимают, что

. (25)

Кроме того, исследования показали, что при использовании ПИД-регулятора важно обеспечить наличие не двух, а одного максимума у амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы , т.к. в противном случае происходит крайне нежелательное затягивание переходных процессов.

Можно удовлетворить всем трем требованиям, т.е. (15), (24), (25) и наличию единственного максимума у , если для расчета оптимальных параметров настройки регулятора воспользоваться методом вспомогательной функции.

Для ПИ-регулятора вспомогательная функция представима в виде

(26)

где

.

Когда для расчета параметров настройки ПИ-регулятора используется метод вспомогательной функции, необходимо определить такое значение частоты , при котором обеспечивается выполнение требования

. (27)

Затем значение определяется согласно формуле

. (28)

Для ПИД-регулятора вспомогательная функция определяется следующим выражением:

(29)

В данном случае необходимо расчетным путем определить значения не только , но и , при которых достигается максимум выражения (29), т.е. выполняется требование (27). После этого оптимальное значение устанавливается по формуле

. (30)

Важным достоинством метода вспомогательной функции является минимальное число априорных предположений о динамических свойствах управляемого объекта, т.к. используется лишь предположение о его линейности.

Необходимо также отметить, что при поиске оптимального значения , обеспечивающего выполнение требования (27), необходимо использовать ограничение на чувствительность вспомогательной функции (29) к малым изменениям . Для оценки чувствительности функции удобно использовать следующий показатель:

. (31)

Значение показателя (31) определяется при таких и , которые обеспечивают выполнение требования (27). Чтобы чувствительность не оказалась слишком большой вводится ограничение

, (32)

где - предельно допустимое значение показателя . В свою очередь, величина определяется как максимальное значение показателя , при котором еще выполняется равенство

,

где - резонансная частота замкнутой системы, а - значение при котором обеспечивается выполнение требования (27). При выполняется условие

, _.