5.Составление дифференциальное уравнение разомкнутой системы и расчет, передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы.

Так как все звенья структурной схемы соединены последовательно, то чтобы найти, передаточную функцию разомкнутой системы определим произведением передаточных функций всех звеньев системы.

W_рисх(p)=W_эу(p)* W_д(p)* W_ред(p)* W_п1(p)* W_эму(p)* W_г(p);

W_рисх(p)= =

Отсюда получим дифференциальное уравнение разомкнутой исходной системы:

Найдем передаточную функцию замкнутой исходной системы по формуле:

6.Определим общий коэффициент усиления(добротности) системы.

Добротность системы К_тр, обеспечивающая заданную точность ∆=2,55%=0,026, можно определить по следующей формуле:

К_тр=.

Коэффициент К_эу найдем через добротность системы:

К_тр=7,5*К_эу

К_эу=

Подставим К_эу в передаточную функцию разомкнутой и замкнутой исходной системы:

7.Определим устойчивость исходной замкнутой системы. Найдем граничный коэффициент усиления.

Для определения устойчивости исходной системы замкнутой САР воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой системы можно получить из передаточной функции W_зисх(p),прировняв нулю её знаменатель:

0,006р⁴+0,13р³+0,85р²+р+35,36=0,

а₀=0,006; а₁=0,13; а₂=0,85; а₃=1; а₄=К=35,36.

Согласно критерию Гурвица для устойчивой системы, заданной некоторым характеристическим уравнением, необходимо и достаточно, чтобы при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения были положительными и все главные диагональные миноры. В нашем случаи все коэффициенты а_i(i=0,1,2,3,4) положительны, проверим знаки миноров.

т.к. минор ∆₃<0, то система в замкнутом состоянии неустойчива.

Определим граничный коэффициент усиления К_гр, при котором система находится на границе устойчивости. Для этого прировняем нулю минор ∆₃

и из полученного равенства найдем К_гр

отсюда

0,11-0,017* К_гр-0,006=0

К_гр=6,12

И так, исходная система неустойчива, поэтому необходим синтез корректирующего устройства.

8.Построение желаемой лачх. Определение устойчивости, расчет и построение переходной характеристики скорректированной системы.

Для синтеза САР мы используем метод В.В. Солодовникова, базирующийся на построении ЛАЧХ исходной и желаемой систем L_исх(ω),L_ж(ω) и получения ЛАЧХ корректирующего устройства L_ку(ω) в соответствии с вражением

L_ку(ω)= L_ж(ω)- L_исх(ω).

Построим ЛАЧХ исходной системы

Этой передаточной функции соответствует амплитудно-фазовая и амплитудно-частотная характеристики:

Отсюда выражение для точной ЛАЧХ запишется в виде:

L_исх(ω)=

Сопрягающие частоты исходной ЛАЧХ находятся следующим образом:

.

Так как передаточная функция исходной разомкнутой системы относится к III типу, то для первого участка асимптотической ЛАЧХ, т. е. для ω<ω_с1=1,7 с^-1, уравнения асимптоты ЛАЧХ будет:

L_{1 исх} (ω)=31-20lgω

Это уравнение прямой линии с наклоном -20 дб/дек, проходящий при ω=1с через точку L_{1 исх} (1)=31 дб. Дальнейший ход асимптотической ЛАЧХ при увеличении частоты характеризуется тем, что на сопрягающих частотах ω_с1, ω_с2 и ω_с3 происходит изменения наклона характеристики каждый раз на -20дб/дек.(рис.4).

Теперь построим желаемую ЛАЧХ. т. е. ЛАЧХ устойчивой системы, отвечающей заданным требованием к качеству регулирования.

Определим сначала частоту среза:

ω_срж=

b=3,8, берем из таблице при заданном перерегулировании σ =30%.

Среднечастотный участок L_ж(ω) проходит через частоту среза с наклоном -20 дб/дек. Длину среднечастотной асимптоты ограничим слева произвольной частотой ω^∆=0,1, с права – частотой ω_с1,т.е. ближайшей точкой излома L_исх(ω).

Низкочастотный участки L_исх(ω) и L_ж(ω) совпадают и осуществляется отрезком прямой с наклоном -40 дб/дек.

Высокочастотный участок мало влияет на динамику САР, поэтому этот участок L_ж(ω) проводим параллельно участку L_исх(ω).

Построенная таким образом асимптотическая L_ж(ω) представлена на рис.4.

Найдем точку пересечения L_ж(ω) и L_исх(ω):

L_срж(0,1)=20lg0.24-20lg0.1=7,6;

L_сопр(ω)=20lgK_сопр-40lg0.1=7,6;

20lgK_сопр=40lg0.1+7,6;

20lgK_сопр=-32,4;

lgK_сопр=-1.62;

K_сопр=0.024;

20lg0.024-40lgω_*=31-20lg ω_*;

-32,4-40lgω_*=31-20lg ω_*;

-20lgω_*=63,4;

lgω_*=-3,17;

ω_*=0.0007;

Передаточная функция разомкнутой желаемой системы может быть, исходя из L_ж(ω) записана следующим образом:

W_ж(p)=

Желаемая замкнутая САР будет характеризоваться передаточной функцией:

W_3ж(p)=

Проверим устойчива желаемая система. Поскольку уже построена L_ж(ω),устойчивость замкнутой желаемой системы удобнее оценить с помощью логарифмического критерия.

базируясь на передаточную функцию разомкнутой желаемой САР, найдем фазовую частотную характеристику этой системы:

φж(ω_срж)=-π/2+arctg10 ω_срж- arctg1429 ω_срж –arctg0.6 ω_срж –arctg0.05 ω_срж –

-arctg0.2 ω_срж=-90+83.52-89,83-8,19-0,69-0,048=-105,24;

При этом запас устойчивости по фазе будет:

γ=180-137.76=74,76>0,

значит, желаемая САР в замкнутом состоянии устойчива.

Для проверки соответствия показателей качества регулирования желаемой системы заданным требованиям построим переходную характеристику замкнутой желаемой САР h_3ж(t).

h_3ж(t)= L^-1{ W_3ж(p)*}

W_3ж(p)

Представим сложное дробно-рациональное выражение суммой простых дробей. Для этого воспользуемся математическим редактором MathCAD.

W_3ж(p)=

Переходную характеристику замкнутой желаемой системы можно так же найти через MathCAD.

h_3ж(t)=4,64*10^-4*e^-24,98t-5,39*10^-2*e^-5,32t+0.15* e^-0.11t+1-1.1* e^-0.45t*cos(0.83t)- -0,91*e^-0.45t*sin(0.83t);

Теперь задаваясь рядом фиксированных значений t построим график, из которого найдем время регулирования t_p и величину перерегулирования σ желаемой системы. В таблице 1. приведены эти данные, полученные с помощью MathCAD.Из таблице 1. видно, что t_p, т.е. время, после которого переходный процесс h_3ж(t) не выйдет из коридора (1±∆)Z_уст=(1±0,0275)*1=0,9725÷1,0275, составляет приблизительно t_p=28, что удовлетворяет заданию (t_p≤ 50). ИЗ таблицы можно посмотреть, что максимальное значение h(t)=1.235получается при t=12,а значит перерегулирование желаемой системы будет:

σ=

Таким образом, желаемая система устойчива и удовлетворяет поставленным требованиям к качеству регулирования.

Таблица 1.

t=
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30

h(t)=
0
0,289
0,701
0,981
1.14
1.215
1.235
1.222
1.193
1.158
1.123
1.091
1.064
1.043
1.027
1.016

t=
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60

h(t)=
1.016
1.008
1.003
0.999
0.998
0.997
0.997
0.997
0.997
0.998
0.998
0.999
0.999
0.999
1
1

Рис.5 График переходной характеристики желаемой замкнутой системы.