Приложение а
(справочное)
Нормированные передаточные функции и законы распределения нулей и полюсов нормированных передаточных функций
Нормированные передаточные функции для простейших статических и астатических систем имеют следующий вид:
- для статических систем (=0)
Фн(p)=
;
(A.1)
где k - коэффициент усиления разомкнутой системы;
- для астатических систем с =1
Фн(р)=
;
(A.2)
- для астатических систем с =2
Фн(р)=
;
(A.3)
- для астатических систем с =3
Фн(р)=
;
(A.4)
где - требуемый порядок астатизма.
Законы распределения нулей и полюсов нормированной передаточной функции выбираются в зависимости от технических требований, предъявляемых к проектируемой системе автоматического управления.
Если система должна быть статической или обладать астатизмом первого порядка, то нормированная передаточная функция выбирается в виде (А.1) и (А.2) соответственно. В этом случае законы распределения полюсов определяются одним из следующих условий:
а) минимальным временем регулирования, которое получается при некратном распределении комплексных полюсов. Все комплексные корни и один вещественный (при n нечетном) располагаются на одинаковом расстоянии от мнимой оси; мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностьюи первым членом прогрессии также. Существует оптимальное отношение=/, которому соответствует наименьшее время регулирования. Коэффициенты характеристического уравнения для этого случая приведены в таблице А.1, графики переходных процессов - на рисунке А.1;
б) критическим затуханием переходного процесса (при кратном распределении комплексных корней), которое по данным таблицы А.2 получается при коэффициенте демпфирования =0,75. Графики переходных процессов для данного распределения приведены на рисунке А.2;
в) максимальной степенью устойчивости системы управления, которая обеспечивается кратным распределением вещественных корней. При этом коэффициенты характеристического уравнения являются коэффициентами бинома Ньютона:
(р+1)n=pn+A1pn-1+...+An-1p+1; (A.5)
их значения для различных степеней n приведены в таблице А.3, а переходные характеристики - на рисунке А.3.
Если система автоматического управления должна обладать астатизмом выше первого порядка, то передаточная функция будет иметь нули.
При передаточной функции вида (А.3) с одним нулем рекомендуется располагать полюсы на вещественной отрицательной полуоси по арифметической прогрессии. При передаточной функции вида (А.4) с двумя нулями - по геометрической прогрессии. В таблицах А.4 и А.5 приведены коэффициенты уравнения для указанных распределений корней. На рисунка А.4 и А.5 для этих случаев показаны переходные процессы.
Таблица 2 - Характеристики автопилотов
|
Тип |
ПФ кор-щих устр-в |
Примечание | ||
|
автопилота |
W4(s) |
W6(s) |
W7(s) |
|
|
с жесткой обратной связью (Ж.О.С.) |
К4 |
К6 |
0 |
W3(s) - ПФ скоростной О.С. автопилота |
|
без обратной связи |
0 |
К6 |
К7S |
W4(s) - ПФ о.с. по углу поворота исполнительного двигателя |
|
изодромный А |
|
К6 |
0 |
W6(s) - ПФ о.с. по первой производной угла тангажа (атаки) |
|
изодромный В |
|
|
0 |
W7(s) - ПФ о.с. по второй производной угла тангажа (атаки) |
Таблица 3 — Требуемые показатели качества (тема А)
|
Вариант |
Макси- мальная скорость слежения
|
Макси- Мальная Ускоре- Ние слеж.
|
Допусти- мая ошибка доп |
Время переход- ного процесса tp |
Величи- на пере- реч. |
Запас уст-ти по фазе |
|
|
град/с |
Град/с2 |
град |
с |
% |
град |
|
1 |
5 |
2 |
0,25 |
1 |
0 |
|
|
2 |
10 |
2 |
0,5 |
1,5 |
5 |
|
|
3 |
12 |
5 |
0,6 |
2,0 |
10 |
|
|
4 |
20 |
3 |
0,75 |
2,5 |
15 |
|
|
5 |
50 |
10 |
1,0 |
3,0 |
20 |
|
|
6 |
40 |
5 |
0,8 |
|
|
60 |
|
7 |
30 |
6 |
0,3 |
|
|
50 |
|
8 |
25 |
1,0 |
0,4 |
|
|
40 |
|
9 |
60 |
20 |
1,0 |
|
|
45 |
|
10 |
70 |
10 |
1,0 |
|
|
30 |
Таблица А.2 - Критическое затухание переходного процесса
|
cте- пень n |
Коэффициенты полинома знаменателя нормированной передаточной функции | ||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1,5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2,5 |
|
2,5 |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
3 |
|
4,25 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
4 |
|
7,25 |
|
7,25 |
|
4 |
|
1 |
|
|
6 |
1 |
|
4,5 |
|
9,25 |
|
12,375 |
|
9,25 |
|
4,5 |
|
1 |
Таблица А.3 - Максимальная степень устойчивости
|
Степень n |
Коэффициенты полинома знаменателя нормированной передаточной функции | ||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
4 |
|
6 |
|
4 |
|
1 |
|
|
|
5 |
|
1 |
|
5 |
|
10 |
|
10 |
|
5 |
|
1 |
|
|
6 |
1 |
|
6 |
|
15 |
|
20 |
|
15 |
|
6 |
|
1 |
Таблица А.4 - Расположение вещественных полюсов по арифметической прогрессии
|
Сте-пень n |
Первый член прог-рессии |
Разность прогре-ссии |
Коэффициенты полинома знаменателя нормированной передаточной функции | ||||||||||||
|
1 |
1,0 |
- |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0,5 |
1,5 |
|
|
|
|
1 |
|
2,5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
0,183 |
1,517 |
|
|
|
1 |
|
5,1 |
|
6,35 |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
0,098 |
1,138 |
|
|
1 |
|
7,22 |
|
16,3 |
|
11,83 |
|
1 |
|
|
|
5 |
0,063 |
0,867 |
|
1 |
|
9 |
|
29 |
|
38 |
|
18 |
|
1 |
|
|
6 |
0,039 |
0,717 |
1 |
|
11 |
|
45,8 |
|
92,3 |
|
82,3 |
|
27,7 |
|
1 |
Таблица А.5 - Расположение вещественных полюсов по геометрической прогрессии
|
Сте-пень n |
Первый член прог-рессии |
Знамена-тель прог-рессии |
Коэффициенты полинома знаменателя нормированной передаточной функции | ||||||||||||
|
1 |
- |
- |
|
|
|
|
|
- |
|
- |
|
|
|
|
|
|
2 |
- |
- |
|
|
|
|
- |
|
- |
|
- |
|
|
|
|
|
3 |
0,182 |
5,5 |
|
|
|
1 |
|
6,7 |
|
6,7 |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
0,185 |
3,08 |
|
|
1 |
|
7,9 |
|
|
|
7,9 |
|
1 |
|
|
|
5 |
0,0755 |
3,63 |
|
1 |
|
18 |
|
69 |
|
69 |
|
18 |
|
1 |
|
|
6 |
0,038 |
3,7 |
1 |
|
26 |
|
251 |
|
485 |
|
251 |
|
26 |
|
1 |