3. Передаточные функции
Положим равным нулю возмущающее воздействие, и в качестве передаточной функции возьмем отношение изображения выходной величины β(p) к изображению задающего воздействия:
,
(3.1)
где W(p) – передаточная функция системы по заданию.
(3.2)
3.1 Разомкнутой системы по заданию
Прямая передаточная функция разомкнутой системы вычисляется аналогично передаточной функции замкнутой системы, которая представляет собой произведение всех передаточных функций элементарных звеньев системы. В неё не входят передаточные функции преобразователя, усилителя и исполнительного двигателя. Для получения передаточной функции разомкнутой системы по заданию разомкнем обратную связь у элемента сравнения (2.1) и возьмем отношение выходной величины β(p) к изображению задающего воздействия, предварительно преобразовав систему к стандартному виду:
Рис. 3 – Сокращенная структурная схема системы
(3.3)
3.2 Разомкнутой системы по возмущению
Определяется с учетом возмущающего воздействия. Дополним (3.3) множителями, отвечающими за формирующие возмущение звенья:
3.3 Замкнутой системы относительно ошибки по заданию
Передаточную функцию относительно ошибки по заданию определяют как отношение угла рассогласования к изображению задающего воздействия, возмущение приравняв нулю. Тогда передаточная функция относительно ошибки по заданию:
Фε(p)=
3.4 Замкнутой системы относительно ошибки по возмущению
4. Логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики
Амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ) звена определяется
отношением амплитуд выходного и входного
сигналов на частоте
:
(4.1)
На графике АЧХ по оси абсцисс откладывается частота, а по оси ординат отношение амплитуд выходного и входного сигналов системы. Обычно для частоты используется логарифмический масштаб, так как исследуемый диапазон частот может изменяться в достаточно широких пределах (от единиц до миллионов Гц или рад/с).
АЧХ показывает во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всём диапазоне частот. Как функция, показывающая зависимость модуля передаточной функции от частоты, АЧХ отображает зависимость выходной частоты, откладываемой по горизонтальной оси, от отношения амплитуд входного и выходного сигналов, откладываемого на вертикальной оси.
Частотная передаточная функция в алгебраической форме записывается как:
(4.2)
где 
- частотная передаточная функция системы,
-
действительная,
- мнимая её часть.
В показательной форме уравнение (4.2) перепишем как:
(4.3)
где 
- АЧХ – амплитудно – частотная
характеристика системы,
-
ФЧХ – фазочастотная характеристика
системы.
Связь между показательной и алгебраической формой записи АЧХ выражается соотношениями:
(4.4)
Изменяя ω от 0 до ∞, заполним табл. 4.1 и построим график на основании полученных в ней данных (рис. 4.1):
Таблица 4.1 – АФХ системы
|
ω |
1,002305 |
1,023293 |
1,258925 |
10 |
1010 |
10100 |
101000 | |
|
lg(ω) |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
1 |
10 |
12,5893 |
15,8489 | |
|
A(ω) |
1 |
0,999998 |
0,99982 |
0,982437 |
0,453898 |
0,369068
|
0,29305
| |
|
lg(ω) |
19,9526 |
25,1189 |
31,6228 |
39,8107 |
50,1187 |
63,0957 |
100 | |
|
A(ω) |
0,2271
|
0,171318
|
0,125278
|
0,0883814
|
0,059906
|
0,0389108
|
0,0144248
| |
|
lg(ω) |
1000 |
10000 |
10000 |
| ||||
|
A(ω) |
2,23605E-5 |
2,24986E-8 |
2,24986E-8 |
| ||||
Рис. 4.1 – АЧХ системы
На практике успешно применяются логарифмическая амплитудно – частотная характеристика (ЛАЧХ):
L(ω)=20 lg (W(jω)) (4.5)
и логарифмическая фазочастотная характеристика системы (ЛФЧХ), которая вычисляется по (4.4). Заполним таблицы 4.2 и 4.3, и построим графики ЛАЧХ и ЛФЧХ на их основании:
Табл. 4.2 – ЛАЧХ системы
|
lg(ω) |
1E-5 |
0,0001 |
0,001 |
0,001 |
0,1 |
|
L(ω) |
-7,30215E-10 |
-2,28016E-9 |
-1,57275E-7 |
-1,57275E-7 |
-0,00156533 |
|
lg(ω) |
1 |
1,58489 |
2,51189 |
5,01187 |
10 |
|
L(ω) |
-0,153908 |
-0,377084 |
-0,893538 |
-2,83557 |
-6,86084 |
|
lg(ω) |
100 |
1000 |
2511,89 |
10000 |
100000 |
|
L(ω) |
-36,8178 |
-93,0104 |
-116,965 |
-152,957 |
-212,956 |
Рис. 4.2 – ЛАХ системы
Табл. 4.3 – ЛФЧХ системы
|
lg(ω) |
1E-5 |
0,0001 |
0,001 |
0,01 |
0,01 |
|
Ф(ω),0 |
-0,000127324 |
-0,00127324 |
-0,0127324 |
-0,127324 |
-0,127324 |
|
lg(ω) |
0,501187 |
1 |
5,01187 |
10 |
100 |
|
Ф(ω),0 |
-6,36538 |
-12,6078 |
-53,083 |
-81,2978 |
-198,696 |
|
lg(ω) |
501,187 |
1000 |
5011,87 |
10000 |
100000 |
|
Ф(ω),0 |
-253,029 |
-261,428 |
-268,285 |
-269,141 |
-269,914 |
