курсовая работа / metod_funkciy_lyapunova_v_zadachah_upravleniya

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………………2

Метод знакопостоянных функций Ляпунова в задачах о стабилизации и синтезе управления для нелинейной управляемой системы…………………………………………………………………………..3

Постановка задачи о синтезе управления…………………………………..3

Задача синтеза управления для автономной управляемой системы…….8

Заключение…………………………………………………………………….16

Список литературы……………………………………………………………17

Введение

Середина 20-го века ознаменовалась интенсивным развитием математической теории управления. Это развитие было связано прежде всего с необходимостью решения задач управления механическими объектами, а в дальнейшем, также и с исследованием технологических и экономических процессов. Одной из центральных задач теории и практики управления остается проблема синтеза законов управления механическими системами. Основы решения этой проблемы заложены в работах Н.Н. Красовского, В.В. Румянцева, А.М. Летова, Д.Е. Охоцимского, Ф.Л. Черноусько, Е.С. Пятницкого и их научных школ.

Принцип динамического программирования представляет собой синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова [14, 24, 26]. На этом базируются основные методы стабилизации движений управляемых систем, в том числе механических, на бесконечном интервале времени [2, 4, 22, 23, 25, 32, 33, 37] и синтеза управления на конечном отрезке времени [8, 9, 16-20] с применением функции Ляпунова.

В [25] показано применение функции Ляпунова со знакоотрицательной производной в задаче синтеза управления в системе, асимптотически устойчивой на бесконечном интервале относительно множества, на котором управление вырождается. Развитие этого подхода с использованием функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную, проведено в работах [10-12].

В работах В.И. Коробова и его учеников [8, 9, 16-20] представлены результаты целенаправленных исследований по синтезу управления на конечном отрезке с помощью функции управляемости, удовлетворяющей по существу условиям классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [26, 35].

Применение теории моделирования [24, 27, 36, 38] позволяет проанализировать подходы и алгоритмы решения задач об управлении механическими системами с точки зрения их эффективности по затратам управления, времен переходного процесса и динамики. Подробно этим вопросам уделено внимание в работах [1, 6, 15, 21, 28, 29, 31, 39].

До настоящего времени решение задач о стабилизации и управлении движением нелинейных систем с применением функций Ляпунова основывалось на знакоопределенных функциях [7, 13, 20, 22, 25, 30, 31]. В работах [3, 4, 5, 34] показана эффективность использования в этих задачах знакопостоянных функций. Развитие данного направления рассматриваетсяв моей курсовой работе.

МЕТОД ЗНАКОПОСТОЯННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В 3АДАЧАХ О СТАБИЛИ3АЦИИ И СИНТЕЗЕ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ

§ 1. Постановка задачи о синтезе управления

Пусть движение некоторой управляемой системы описывается системой дифференциальных уравнений

= , (1.1)

где Є ⁿ есть вектор-функция переменных, являющихся некоторыми контролируемыми параметрами, связанными с движением управляемого объекта, а Є R^m есть вектор-функция управления, приложенного к объекту.

Пусть = есть некоторое частное движение системы, порождаемое управлением .

Таким образом, имеем

(1.2)

Примем за невозмущенное движение, а за возмущенное движение будем считать движение, которое также описывается уравнениями (1.1), но уже при значениях , отличных, вообще говоря, от воздействия .

Введем переменные

(1.3) где - возмущения параметров движения, - отклонения управляющих воздействий от порождающего управления .

Из соотношений (1.1), (1.2) и определения (1.3) получаем, что возмущенное движение при отклонении , принимаемом за дополнительное управление, описывается системой уравнений

(1.4) где

Согласно составленному переходу, имеем соотношения

(1.5)

Будем предполагать, что правая часть системы (1.4), вектор-функция определена и непрерывна для всех, за исключением, быть может, точки и некоторого заданного множества, где Г =, есть норма в n-мерном действительном пространстве Rⁿ, задаваемая в соответствии с конкретной постановкой задачи, R^m есть m-мерное действительное пространство с соответствующей нормой

Также будем полагать, что дополнительное управление u, целью которого является приведение системы в движение по закону , или по закону х(t) ≡ 0 системы (1.4), формируется по цепи обратной связи с измерением текущих значений параметров х, т.е. в виде зависимости

В соответствии с (1.3) и(1.5) следует принять, что желательно, чтобы искомое управление удовлетворяло условиям

(1.6)

Пусть U ⊂ R^m есть класс управлений которые могут быть построены на основе обратной связи, определенных и непрерывных в области, за исключением, быть может, точки x = 0 и некоторого заданного множества.

Допустим, что для каждого соответствующие движения для каждой точки при являются единственными.

Введем следующие обозначения: — управляемое движение, удовлетворяющее начальному условию и порождаемое управлением .

В работе [33] дана следующая постановка задачи синтеза управления для системы (1.4) на конечном отрезке времени.

Определение 1.1. Задача синтеза управления на конечном отрезке времени состоит в нахождении управления такого, чтобы движение системы (1.4), начинающееся в произвольной точке из некоторой окрестности х = 0 в любой начальный момент времени t₀, попадала в конечный момент времени, где , в заданную точку х = 0.

При этом синтез будем называть устойчивым, если при решающем поставленную задачу, для любого, и для любого ℰ > 0 существует δ > 0, такое, что , если и .

Для решения поставленной задачи в [33] применен метод функций Ляпунова. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. [33] Рассмотрим управляемый процесс (1.4). Будем предполагать, что вектор—функция непрерывна по совокупности переменных и в области

удовлетворяет условию Липшица

Пусть существует в замкнутой области

функция , удовлетворяющая условиям:

1) при и для любого;

2) непрерывна всюду и непрерывно дифференцируема всюду, за исключением, быть может, точек вида (t, 0) при ;

3) существует с > 0, такое, что множество ограничено и при всех ;

4) существует функция при , такая, что справедливо неравенство

при некоторых > 0 и > 0, причем в области удовлетворяет условию Липшица

5) справедливо неравенство

Тогда движение системы (1.4), начинающееся в произвольной точке в начальный момент оканчивается в точке х = 0 в некоторый момент времени , где .

Замечание 1.1. [33] Если = +, то функция Ляпунова обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.4).

Проведем дальнейшее развитие результатов работы [33]. Поставим задачи равномерного синтеза и синтеза управления равномерного по на конечном отрезке.

Определение 1.2. Задача равномерного синтеза состоит в нахождении управления , такого, что существуют число и число , такие, что любое движение, начинающееся в произвольной точке , в любой начальный момент времени , попадает в заданную точку при некотором

Определение 1.3. 3адача синтеза управления равномерного по состоит в нахождении управления , такого, что для любого найдутся число и число , такие, что любое движение, начинающееся в точке в начальный момент времени , попадает в заданную точку х = 0 при некотором

По отношению к задаче синтеза управления можно поставить задачу о выборе управляющего воздействия с точки зрения наилучшего качества переходного процесса, состоящего в достижении минимума функционала

где ω— некоторая непрерывная неотрицательная скалярная функция переменных , характеризующая качество переходного процесса, число не задано.

Выбор в конкретной прикладной задаче проводится с учетом особенностей ее постановки, ограничения ресурсов управления, требования к оценке переходного процесса и возможностей формы или способа решения задачи.

Пусть есть движение, порождаемое управляющим воздей- ствием а — движение, порождаемое управляющим воздействием .

Используя введенные выше обозначения, проведем постановку задачи оптимального синтеза.

Определение 1.4. Задача оптимального синтеза состоит в нахождении управляющего воздйствия , решающего задачу синтеза управления на конечном отрезке и такого, что по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями , решающими эту задачу, для всех выполняется неравенство

≤

при условиях

3амечание 1.2. Область в определении 1.4 принята независимой от . Возможны и другие варианты постановки задачи об оптимальном синтезе. Например, с зависимостью от , т.е. когда

Определение 1.5. Задача равномерного оптимального синтеза соcтоит в нахождении управляющего воздействия , решающего задачу равномерного синтеза управления на конечном отрезке, и оптимального по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями , решающими эту задачу.

Соответственно определению 1.3 можно ввести задачу oптимального синтеза равномерного по .

Будем рассматривать также задачи о стабилизации и равномерной стабилизации в следующей классической форме из [60].

Определение 1.6. [60] 3адача о стабилизации состоит в нахождении управляющего воздействия в виде вектор-функции такой, чтобы невозмущенное движение х = 0 было бы асимптотически устойчивым в силу уравнений (1.4) при .

Определение 1.7. [60] Задача о равномерной стабилизации состоит в нахождении управляющего воздействия в виде вектор-функции такой, чтобы невозмущенное движение х = 0 было бы равномерно асимптотически устойчивым в силу уравнений (1.4) при , с некоторой областью равномерного движения .

§ 2 Задачи синтеза управления для автономной управляемой системы

Пусть возмущенное движение управляемой системы описывается уравнениями

(2.1)

где - n-мерный фазовый вектор, - m-мерный вектор управления, — вектор-функция.

Пусть есть класс управляющих воздействий , которые могут быть построены на основе обратной связи и удовлетворяют условиям

Так как задача синтеза рассматривается для автономной системы, то

за начальный момент времени можно принять , а ее решения определить в виде .

Допустим, что , есть некоторое выбранное управ- ление, под действием которого уравнения управляемого движения (2.1) принимают вид

(2.2)

Будем полагать, что движение определено и единственно при t 0 для каждой точки .

Пусть , есть скалярная функция, непрерывно дифференцируемая в области Г, за исключением, может быть, точки х = 0 и множества

В точках можно определить производную в силу системы (2.2)

Введем класс функций типа Хана [94], , если есть непрерывная, строго монотонно возрастающая функция со значением . Определим подкласс , такой, что если , то при > 0 выполняется неравенство

,

т.е. интеграл сходится.

Проиллюстрируем методику решения задачи 1.2 в следующей теореме.

Теорема 2.1. Пусть для системы (2.2) можно найти функцию Ляпунова и управляющее воздействие , такие, что:

1) для всех выполняется соотношение , при этом только при х = 0;

2) функция

Тогда решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке времени.

Доказательство. Покажем, что синтез управления является устойчивым, т.е. покажем, что при для любого > 0 существует > 0, такое, что , если и , если , или .

Возьмем любое . Обозначим

Наименьшее значение достигается, так как функция непрерывна и положительна при согласно условию 1) теоремы.

В качестве выберем такое число, что

Из непрерывности функции и условия следует, что такое число обязательно найдется.

Введем функцию Условие 2) теоремы означает, что функция не возрастает вдоль ре- шений системы (2.2) при управляющем воздействии . Отсюда, при и или получим

следовательно, для всех .

Пусть движения (2.2) из области ограничены и - какое-либо движение.

Вычислим производную от функции по t в силу системы (2.2) на движении . Имеем по условию 2) теоремы