курсовая работа / metod_funkciy_lyapunova_v_zadachah_upravleniya
.doc(2.3)
Из условия (2.3) следует, что монотонно убывает, и, будучи ограниченной снизу, при , где - конечное число, или
. Покажем, что имеет место первый случай, . Интегрируя неравенство (2.3) от 0 до t, получаем
(2.4)
Из сходимости интеграла в правой части неравенства следует, что t-ограничено, . Поэтому при . Переходя в неравенстве (2.4) к пределу при , получаем
(2.5)
Значит, для любой начальной точки существует время Т, , такое, что при t = Т для любого движения имеем . Так как только при х = 0, следовательно, за конечное время управление переводит точки некоторой области в точку х = 0.
Теорема доказана.
Замечание 2.1. Для автономной системы (2.2) управляющее воздействие решает задачу равномерного синтеза на конечном отрезке. Действительно, для ограниченной области функция JIяпунова имеет оценку . Поэтому в неравенстве (2.5) имеем
Проведем решение задачи синтеза управляющего воздействия на конечном интервале времени на основе применения знакопостоянных функций Ляпунова.
Теорема 2.2. Предположим, что можно найти функцию Jlяпунова и управление , такие, что выполнены условия:
1) производная функции при в силу системы (2.2)
2) точка х = 0 системы (2.2) асимптотически устойчива относительно множества
Тогда х = 0 системы (2.2) асимптотически устойчиво, а возмущенное движение попадает на множество за конечный промежуток времени.
Если же вместо условия 2) выполнено условие
2') движение, начинающееся на множестве, попадает в точку х = 0 за конечный отрезок времени.
Тогда решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке времени.
Доказательство. Из условий 1) и 2) теоремы следует, что решение х = 0 системы (2.2) асимптотически устойчиво [17].
Пусть - область притяжения, - движение. По условию 2) на этом движении для функции имеем
(2.6)
Отсюда, аналогично доказательству теоремы 2.1, получаем, что при и имеет место оценка
3начит, существует время , такое, что при любое выбранное движение попадает на множество
Допустим, что вместо условия 2) выполняется условие 2') теоремы.
Пусть есть точка, в которую попадает движение в момент Соответствующее движение попадает в точку х = 0 при некотором согласно условию 2') теоремы. Так как
за время движение из точки попадает в точку х = 0.
Теорема доказана.
Рассмотрим задачу об оптимальном синтезе управления системы (2.1) с минимизируемым функционалом
(2.7)
где - непрерывная неотрицательная функция.
Введем выражение
Имеет место следующая теорема об оптимальном синтезе.
Теорема 2.3. Предположим, что существуют функция и управляющее воздействие , , такие, что выполнено условие 1) теоремы 2.1, а также:
2) выполнено неравенство
3) для всех выполняется соотношение
4) для любого , в области Г справедливо неравенство
Тогда решает задачу оптимального синтеза.
Доказательство. Для производной функции в силу системы (2.2) из условий 2) и 3) теоремы находим
(2.8)
Значит, по теореме 2.1, управляющее воздействие решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке времени.
Покажем, что управляющее воздействие доставляет минимум функционалу (2.7) по сравнению с другими воздействиями, решающими эту задачу.
Итак, управление решает задачу устойчивого синтеза управления на конечном отрезке. Значит, в конечный момент времени движение системы (2.2) для любых попадает в точку х = 0. Следовательно,
Для каждого движения при управляющем воздействии с начальной точкой из условия 3) теоремы следует, что имеет место соотношение
Пусть есть любое другое управляющее воздействие, такое, что, порождаемое им управляемое движение с начальной точкой попадает в точку х = 0 при . Значит, . Так как , то . Из условия 4) теоремы будем иметь
(2.9)
Тем самым теорема доказана.
Теорема 2.4. Результат теоремы 2.3 сохраняется, если можно найти функцию JIяпунова и управляющее воздействие , такие, что в области выполнены условия 2), 3) и 4) теоремы 2.3, а также:
1) движения системы (2.2) из некоторой области ограничены обла- стью
5) движения, начинающиеся на множестве попадают в точку х = 0 за конечный отрезок времени.
Доказательство. Пусть — какое-либо движение системы (2.2) при управляющем воздействии .
Если , тогда соответствующее движение попадает в точку х = 0 при некотором согласно условию 5) теоремы. При этом из определения функции теоремы следует, что на этом движении , т.е. движение при . 3начение функционала на этом движении, так как в силу .
Если , тогда по условию 1) теоремы соот- ветствующее движение ограничено при всех , и на этом решении для функции согласно условию 2) теоремы имеем
Отсюда, аналогично доказательству теоремы 2.1, получаем, что при и имеет место оценка
Для любого другого , решающего задачу синтеза, как и в теореме 2.3, найдем, что (см. неравенство (2.9)).
Тем самым теорема доказана.
Список литературы
-
Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления // Под. ред. А.А.Воронова и И.А.Орурка. М.: Наука. 1984. 412с.
-
Андреев А.С., Безгласный С.П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // ПММ. 1997. Т.61. Вып.1. С.44-51.
-
Андреев А.С., Бойкова Т.А. Знакопостоянные фукции Ляпунова в задачах об устойчивости // Механика твердого тела. 2002. Вып.32 С.109-116.
-
Андреев А.С., Ким Е.Б. Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы // Механика твердого тела. ИПМН НАН Украины (Донецк). 2004. Т.34. С.119-126.
-
Андреев А.С., Румянцев В.В. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы // Автоматика и телемеханика. 2007. №8. С.18-31.
-
Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Устойчивость решений интегродифференциального уравнения в частных производных // Журнал "Труды Средневолжского математического общества". Т.7. №1. Саранск. 2005. С.138-145.
-
Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 2003. 615с.
-
Бессонов Г.А., Коробов В.И., Скляр Г.М. Задача устойчивого синтеза ограниченных управлений для некоторого класса нестационарных систем. // ПММ. Т.52. Вып.1. 1988.
-
Бессонов Г.А., Коробова Е.В. Решение задачи позиционного управления для некоторых классов нелинейных систем // Вестник Харьковского университета. 1991. №361: Прикладная математика и механика. С.27-33.
-
Богданов А.Ю. Синтез асимптотически устойчивых непрерывных нестационарных систем управления // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: УлГУ. 2000. Т.8. Вып.1. С.31-38.