6 Проверка замкнутой системы на устойчивость. Определение запаса устойчивости по модулю и фазе
6.1 Проверка замкнутой сар на устойчивость
Проверка САР на устойчивость будет осуществляться по критерию устойчивости Гурвица.
Передаточная функция замкнутой системы:
,
(6.1)
(6.2)
Приравняем знаменатель этого выражения к нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы:
(6.3)
Коэффициенты характеристического уравнения:
Коэффициенты характеристического уравнения положительны, значит можно рассматривать систему на устойчивость.
Критерий устойчивости системы Гурвица: Система будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения и все диагональные миноры определителя Гурвица положительны.
У нас характеристическое уравнение 4-го порядка, следовательно определитель Гурвица будет иметь вид:
(6.4)
Для определения устойчивости составляем и миноры определителя:
,
(6.5)
,
(6.6)
,
(6.7)
(6.8)
Все определители Гурвица (все n диагональные миноры матрицы) положительны, значит условие устойчивости системы по критерию Гурвица выполняется, а следовательно данная замкнутая САР устойчива.
6.2 Определение запаса устойчивости системы по фазе
Запас
устойчивости может быть определен с
использованием логарифмического
критерия устойчивости Найквиста, который
опирается на логарифмические характеристики
разомкнутой системы. Он гласит: система
находится в устойчивом состоянии, если
частота среза меньше частоты, при которой
Л.Ф.Ч.Х. переходит через угол
.
Графики Л. А. Ч. Х. и Л. Ф. Ч. Х. разомкнутой системы.
Л.А.Ч.Х. разомкнутой системы на графике пресекает ось абсцисс
при
(6.9)
Фаза при 62,98Гц равна:
.
(6.10)
Запас устойчивости по фазе:
.
(6.11)
6.3 Определение запаса устойчивости системы по модулю
Л.Ф.Ч.Х.
разомкнутой системы на графике пресекает
прямую
при
.
,
(6.12)
дБ.
(6.13)
Запас устойчивости по модулю:
,
(6.14)
.
(6.15)
Т.е. можно увеличить коэффициент усиления передаточной функции в 3,16 раза.
Можно сделать вывод, что, данная система обладает запасом устойчивости как по модулю, так и по фазе.