21.3. Коэффициенты ошибок дискретной системы.

При анализе точности непрерывных систем при полиномиальных (степенных) входных воздействиях успешно применяется метод коэффициентов ошибок. Этот же метод может использоваться и для дискретных автоматических систем.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК В НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ.

Допустим, входная функция g(t) имеет ограниченное число производных (до m- порядка). В этом случае ошибку системы можно определить следующим образом:

.

Раскладываем ПФ по ошибке в ряд по степеням р:

.

Перейдем к оригиналу:

.

Величины с₀, с₁, ..., с_m- коэффициенты ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам:

,

причем коэффициент с₀ отличен от нуля только в статических системах.

В системах с астатизмом первого порядка с₀=0, а коэффициент с₁ связан с добротностью по скорости соотношением: и т.д.

Если управляющее воздействие имеет ограниченное число производных, то рассматриваемый ряд будет иметь ограниченное число членов.

Вернемся к рассмотрению точности импульсных систем.

Из изложенного ранее материала следует, что выражение для сигнала ошибки импульсной системы в вынужденном процессе может быть записано в виде:

, (21.11)

где - импульсная переходная функция замкнутой системы по ошибке.

Выразим решетчатую функцию через ее разности конечного порядка, в частности, дляi=1,2,3 , получим:

;

;

.

В общем случае, для i- ого порядка:

, (21.12)

где .

Подставляя выражение (21.12) в (21.11), получим:

.

Группируя в этом выражении слагаемые, соответствующие разностям , будем иметь:

. (21.14)

Введем коэффициенты с_j , определяемые соотношениями:

, (21.15)

где i^(j)=i*(i-1)*…*(i-j+1).

Тогда выражение (21.14) приобретает вид:

, (21.16)

то есть величина вынужденной ошибки в системе полностью определяется введенными коэффициентами С_j и разностями квантованного входного сигнала.

Выражение (21.6) позволяет вычислить установившуюся ошибку системы в зависимости от разностей входного сигнала. Пусть, например,

.

Тогда:

;

.

Коэффициенты С_j - называются коэффициентами ошибок дискретной системы. Они могут быть вычислены заранее по передаточной функции замкнутой системы :

.

Дифференцируя эту зависимость по z, получим для j- производной:

.

Сравнивая полученное выражение с формулой (21.15), получим:

. (21.17)

При вычислении коэффициентов ошибок производные обычно находят не непосредственным дифференцированием, а определяя коэффициенты разложения функциив ряд Тейлора по степеням (z-1).

Действительно, данное разложение имеет вид:

.

Коэффициенты данного разложения легко находятся переходом от переменной z к новой переменной и последующим делением числителя полученного дробно- рационального выражения на знаменатель.

Рассмотрим пример:

Определим ошибку, устанавливающуюся в импульсной системе, если:

и f[kT]=a₀+a₁kT, a₀=2, a₁=4, T=1.

Введем новую переменную , получим:

(21.18)

Разделив числитель и знаменатель, найдем разложение функции (21.18) в ряд по степеням (запишем только два первых члена):

Откуда следует, что с₀=0; с₁=0,384; с₂=0,326 и тогда:

.

Таким образом, мы рассмотрели, как оценивается точность импульсных систем при степенных входных воздействиях. В случае необходимости проведения анализа точности при гармоническом входном сигнале он выполняется с помощью псевдочастотных ЛАФЧХ импульсной системы совершенно аналогично тому, как это делалось для непрерывных систем. При этом для перехода от ЛАФЧХ разомкнутой дискретной системы к ЧХ по сигналу ошибки могут использоваться те же номограммы замыкания, что и для непрерывных систем.

137