Лекция №16 описание дискретных систем в терминах пространства состояний

План лекции:

1. Определение многомерной синхронной, синфазной импульсной системы.

2. Структурная схема дискретной системы.

3. Переходная матрица состояния.

4. Некоторые способы вычисления переходной матрицы.

16.1. Векторная форма записи математической модели дискретной системы.

Способ математического описания дискретных систем разностными уравнениями является наиболее общим и применяется как для линейных, так и для нелинейных систем. Разностные уравнения позволяют провести полное исследование системы, они хорошо приспособлены для решения задач анализа и синтеза с помощью ЭВМ.

Рассмотрим методику составления разностных уравнений импульсных систем на примере многомерной САУ. Уравнения для систем с одним выходом и одним входом являются частным случаем.

Итак, допустим, мы имеем многомерную синхронную, синфазную импульсную систему (рис.16.1).

Рис. 16.1.

Импульсные элементы в этой схеме имеют одинаковые частоты квантования и работают синфазно.

Пусть непрерывная часть системы описывается системой дифференциальных уравнений, которая в матричной форме записи имеет следующий вид:

где x=(x₁,x₂,...x_n)- n- мерный вектор переменных состояния;

u=(u₁,u₂,...u_m)- m- мерный вектор входных воздействий;

y=(y₁,y₂,...y_r)- r - мерный вектор выходных переменных.

Матрицы A,B,C,D имеют следующие размерности: А-(nхn)- матрица; B-(nхm)- матрица; C-(rхn)- матрица; D-(rхm)- матрица.

Двойные стрелки указывают на то, что устанавливаемые ими связи относятся к векторным величинам.

Матрица А - основная или собственная матрица системы. Она определяет устойчивость и, соответственно, характер свободных движений системы.

Матрица В - матрица формирования управления, она определяет передаточные свойства системы и характеристики вынужденного движения.

Матрица С- определяет связь между выходными переменными и переменными состояния.

Матрица D - устанавливает непосредственную зависимость выходных координат системы от входных переменных (так называемая матрица обхода).

Графически, уравнениям (16.1), (16.2) соответствует следующая структурная схема (рис.16.2):

Рис.16.2.

16.2. Переход от системы дифференциальных уравнений к системе конечно-разностных уравнений.

Рассмотрим решение однородной системы дифференциальных уравнений:

(16.3)

при начальных условиях : .

Общее решение:

x(t)=e^AtC₀,

где C₀ - матрица - столбец, определяемая начальными условиями:

x(t₀)=x₀=e^At0C₀ ,

C₀=e^-At0x₀, x(t)=.

Пояснения:

- экспоненциальная матрица (nхn), определяемая как сумма ряда :

Экспоненциальная матрица обладает свойствами экспоненты:

1. t=0 , =E;

2. ;

2. .

Матрица:

Ф(t,t₀) = , (16.4)

определяющая решение однородного дифференциального уравнения, называется переходной матрицей состояния (матрицей перехода).

Свойства переходной матрицы:

1. Ф(t₀,t₀)=Е;

2. Ф(t,t₀)= Ф^-1(t₀ ,t);

3. Ф(t₀,t₂)= Ф(t₀,t₁) Ф(t₁,t₂), t₀< t₁< t₂;

4. Для линейной системы с постоянными коэффициентами матрица перехода является функцией только t-t₀ .

Теперь рассмотрим неоднородное уравнение:

. (16.5)

Обозначим

Ф(t,t₀)= =Ф(t-t₀).

Будем искать решение неоднородного уравнения (16.5) в виде:

x(t)=Ф(t-t₀)С₁(t) = С₁(t) . (16.6).

Дифференцируя (16.6) по t, получим:

Сравнивая полученное уравнение и (16.5), получим:

.

Отсюда:

.

Учитывая, что

,

Далее, в соответствии со свойством переходной матрицы Ф(t₁,t₂)= Ф^-1(t₂ ,t₁), можно записать:

.

найдем произведение:

Таким образом, решение уравнения (16.5) можно записать в виде:

.

Матрицу- столбец С₂ найдем, используя начальные условия:

x(t₀)= С₂.

Окончательно получим:

.

Предположим, что в качестве формирующего звена используется экстраполятор нулевого порядка. Тогда в течение каждого из интервалов квантования: на вход непрерывной части поступает постоянный сигнал u(t)=const=u[kT]. Полагая известными значениями x при t₀=kT, найдем их значения при t=(k+1)T. Подставив соответствующие значения в решение системы дифференциальных уравнений, получим:

.

Окончательно уравнение состояния для дискретных моментов времени определится в виде:

x[(k+1)T]=Ф(T)x[kT]+Hu[kT], (16.7)

где

.

Дополняя уравнение (16.7) дискретным аналогом зависимости (16.2), получим окончательную систему разностных уравнений в виде:

x[(k+1)T]=Ф(T)x[kT]+H(Т)u[kT], (16.8)

y[kT]=Cx[kT]+Du[kT] (16.9)

где Ф - собственная матрица импульсной системы - Ф=е^АТ ;

Н- матрица входа:

; (16.10)

;

Е - единичная матрица соответствующей размерности . Матрицы С и D при переходе от уравнения (16.2 к (16.9) не изменяются .

Таким образом получена система разностных уравнений , описывающая ИС .