18.3.Вычисление переходных процессов в ис.

Перепишем уравнение (18.1) ИС в переменных состояния в виде:

x[k+1]=Фx[k]+Hu[k].

Это уравнение по существу представляет собой рекуррентное решение разностного уравнения дискретной системы, то есть оно позволяет определить вектор состояния x[k+1] по известным x[k] и u[k]. Поэтому данная форма уравнений позволяет рекуррентным способом вычислить переходные процессы и просто реализовать процесс вычислений на ЦВМ. Соответствующий алгоритм может быть использован и при переменных параметрах системы.

Недостатком рекуррентной процедуры является то, что для нахождения решения x[k] при определенном значении аргумента k необходимо вычисление решения при всех предшествующих значениях аргумента. Для получения решения x[k] в явном виде при произвольном значении аргумента может быть использован аппарат передаточных функций и z- преобразования.

Пояснения:

(Определения, которые были введены в курсе МОТАУ)

Допустим, задана однородная система уравнений:

х[k+1]=Фx[k] (18.11)

Тогда фундаментальной матрицей Х[k] называется (n x n) матрица, столбцы которой представляют собой линейно-независимые решения однородной системы конечно-разностных уравнений (КРУ).

Фундаментальная матрица является нормированной, если при k=0, Х[0]=Е.

В этом случае общее решение однородной системы будет иметь вид:

х[k]=X[k]x[0] . (18.12)

Для определения нормированной фундаментальной матрицы применим Z- преобразования к общим частям уравнения (5.38):

zx(z)-zx[0]=Фх(z),

где x(z)=z{x[k]}.

Отсюда следует:

x(z)=(zE-Ф)^-1zx[0]

и соответственно:

x[k]=Z^-1{(zE-Ф)^-1Z}x[0] . (18.13)

Так как решение линейного разностного уравнения при заданном начальном условии определяется единственным образом, то из сравнения выражений (5.38) и (18.13) будем иметь:

X[k]=Z^-1{(zE-Ф)^-1Z}.

Связь между Z- преобразованием решетчатой функции F(z) и оригиналом f[k] задается соотношением:

,

где z_i - особые точки F(z).

Применив эту формулу для нашего случая:

, (18.14)

где z_i- собственные числа матрицы Ф, то есть корни характеристического уравнения:

det(zE-Ф)=0.

Возможны также и некоторые другие способы вычисления матрицы Х[k].

Перейдем к определению решения неоднородной системы разностных уравнений:

х[k+1]=Фх[k]+Hu[k].

Получим последовательно:

х[1]=Фх[0]+Hu[0];

х[2]=Фх[1]+Hu[1]=Ф²х[0]+ФHu[0]+Hu[1];

х[3]=Фх[2]+Hu[2]=Ф³x[0]+Ф²х[0]+ФHu[1]+Hu[2];

Общее решение неоднородной системы будет иметь вид:

х[k]=Ф^kx[0]+ Ф^k-1Hu[0]+...+ФHu[k-2]+Hu[k-1]

или

Учитывая, что: Ф^k=X[k], Ф^k-i-1=X[k-i-1], получим окончательное выражение в виде:

x[k]=X[k]x[0]+ . (18.15)

Таким образом, для численного расчета переходного процесса в дискретной системе можно использовать либо рекуррентную процедуру, либо выражения (18.13),(18.15). Последние выражения могут быть использованы для изучения общих свойств решения, анализа поведения системы при различных начальных условиях, так как они характеризуют зависимость переменных состояния системы от дискретного времени в явном виде.

117