18.2. Исследовани устойчивости при описании дискретных систем уравнениями состояния.

Устойчивость определяется характером собственных движений дискретной системы, то есть характером движений под действием только ненулевых начальных условий. Если входное воздействие отсутствует, то уравнение состояния (18.1) принимает вид:

x[k+1]=Ф x[k]. (18.5)

Общее решение системы (18.5) имеет вид:

x[k]=Ф^к x[0].

Устойчивость системы (18.5), а, следовательно, и исходной неоднородной системы (18.1) определяется, как это следует из предыдущего материала лекции, собственными числами матрицы Ф, то есть корнями характеристического уравнения:

det(zE-Ф)=0. (18.6)

Если все корни z_i, i=1,2,3,...,n удовлетворяют условию:

, i=1,2,3,...,n,

то система устойчива.

Если существует хотя бы один корень,

,

то импульсная система, описываемая уравнением (18.1), неустойчива.

При использовании математического описания импульсных систем в терминах пространства состояний оказывается возможным применить простой и удобный в вычислительном отношении критерий устойчивости.

Справедливы утверждения:

1. Если все корни характеристического уравнения (18.6) z_i(Ф) удовлетворяют условию

, i=1,2,3,...,n (18.7)

то . (18.8)

При этом в (18.8) может использоваться любая из известных форм нормы матрицы. Справедливо и обратное утверждение, то есть из условия (18.8) следует условие (18.7).

Пояснение:

Нормой матрицы А размера mхn называется сумма модулей ее элементов:

.

2. Если

, i=1,2,3,...,n (18.9)

и кратные корни на единичной окружности отсутствуют, то

(18.10)

и обратно, выполнение условия (5.36) влечет за собой выполнение (18.10).

3. Если существует или имеются кратные собственные числа матрицы Ф, принадлежащие единичной окружности, то

. Справедливо также и обратное утверждение.

Таким образом, исследование устойчивости может производиться на основе анализа элементов матрицы Ф^к при .

Обычно рассматривают последовательность матриц:

{Ф^2к}={Ф,Ф²,Ф⁴,...} .

Эта последовательность просто формируется с помощью ЭВМ. Далее задаются малым числом или достаточно большим числом N и с помощью ЦВМ проверяют выполнение одного из условий:

, к=0,1,2,...

или , к>n.

В первом случае соответствующая ИС устойчива, во втором - неустойчива.

Возможны модификации этого алгоритма на основе привлечения для оценки неустойчивости системы следов матриц Ф^к при .

При этом обычно используется следующее утверждение:

Если существует такое к, что SpФ^к > n, где n порядок матрицы, то среди собственных чисел матрицы обязательно найдется хотя бы одно z_i, удовлетворяющее условию и тогда соответствующая импульсная система неустойчива.