12. Общие понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее искомую неизвестную функцию , независимую переменную и производные искомой функции

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, - уравнение первого порядка, а - уравнение третьего порядка.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , при подстановке которой в уравнение (вместе с её производными) это уравнение обращается в тождество.

График этой функции называется интегральной кривой. Если решение получено в неявном виде, (т.е. в виде, не разрешенном относительно y) , то его обычно называют интегралом.

Пример 1. Проверить, что функция является решением дифференциального уравнения .

Решение. Найдем производную данной функции . Подставив в данное уравнение и , получаем, что оно обращается в тождество:

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка -

Будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно производной и записать в виде: (*) или записать в форме, содержащей дифференциалы: (**)

От формы (*) легко перейти к форме (**) и наоборот. Если в уравнении (*) заменить на , умножить обе части на и перенести все члены в одну сторону, то получим , т.е. форму (**), где

Наоборот, если перенести первый член уравнения (**) направо и разделить обе части уравнения на , предполагая, что , то получим: , то есть формулу (*), где .

Важнейшей задачей в теории дифференциальных уравнений является задача Коши. Для уравнения эта задача ставится следующим образом: среди всех решений уравнения найти такое решение y, которое принимает заданное значение при заданном значении аргумента , то есть найти такую функцию , чтобы она обращала уравнение в тождество и чтобы .

Эти числа и называются начальными условиями и записываются они следующим образом: .

Функция называется общим решением дифференциального уравнения в области D изменения переменных, если она является решением уравнения при всех значениях произвольной постоянной C, и если соответствующим выбором значения этой постоянной можно найти решение с начальными условиями при , где - любая точка области D.

Если общее решение получено в неявном виде - , то его называют общим интегралом уравнения.

Решение , получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением.

Чтобы из общего решения найти частное, удовлетворяющее начальному условию , нужно подставить в общее решение вместо x и y числа и и, решив полученное уравнение относительно C, найти . Затем, подставив найденное в общее решение, получим искомое частное решение.

Так, например, если решение простейшего уравнения искать при начальном условии , то общим решением будет или . Подставляя в него значения и , получим . Конкретное частное решение будет иметь вид .

Теорема Коши. Если правая часть уравнения и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области D изменения переменных x и y, то для любой внутренней точки этой области, существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что существует единственная интегральная кривая, график которой проходит через точку