Вычисление объёмов тел вращения

Кривая вращается вокруг оси Ох, при этом образуется некое тело вращения. Всякое сечение тела вращения – круг радиуса в сечении х. Объём тела вращения вычисляется по формуле .

Пример 6. В плоскости Оху задана функция на отрезке . Найти объём тела, полученного в результате вращения вокруг оси Ох.

Решение.

Несобственные интегралы

В соответствии с определением интеграла по Риману, функция должна быть ограничена на , а сам отрезок конечен. Однако в ряде технических задач требуется вычислить определённый интеграл, промежуток интегрирования которого является бесконечным, т.е. один или оба предела интегрирования равны . Функция может иметь внутри промежутка интегрирования точки разрыва второго рода, т.е. неограниченна. При этом такие интегралы могут существовать, т.е. принимать конечные значения.

Определённый интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри [a,b].

Несобственные интегралы I рода – интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Их вычисление осуществляется следующим образом:

Если предел существует, то несобственный интеграл сходится и равен этому пределу. Если предел равен , то интеграл расходится, то есть не существует.

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.

Несобственные интегралы II рода.

Пусть функция непрерывна на , исключая точку , в которой имеет разрыв второго рода . Интеграл от такой функции называется несобственным интегралом II рода. Вычисляется он следующим образом: возьмём на окрестность точки с радиуса ε.