Дифференциал функции
Дифференциалом
функции
называется сумма произведений частных
производных этой функции на приращения
соответствующих переменных, т.е.
.
Градиент
Градиентом
функции z =
f(x,
y)
называется вектор с координатами
.
Градиент функции
в данной точке характеризует направление
максимальной скорости изменения функции
в этой точке.
Теорема.
Пусть задана дифференцируемая функция
z = f(x,
y)
и пусть в точке
,
величина градиента отлична от нуля.
Тогда градиент перпендикулярен линии
уровня, проходящей через данную точку.
Таким образом, линии уровня можно построить следующим образом.
Предположим,
мы начинаем с точки
.
Построим градиент в этой точке. Задаем
направление, перпендикулярное градиенту.
Оно позволяет построить малую часть
линии уровня. Далее рассмотрим близкую
точку
и построим градиент в ней. Продолжая
этот процесс, можно (с определенной
погрешностью) построить линии уровня.
Пример
6. Найти
градиент функции
в точке М(1; 1).
Решение. Находим частные производные функции z:
.
Подставляем
значения х
= 1 и y
= 1(координаты
точки М) в частные производные:
.
Ответ:
.
Производная по направлению
Производной
по направлению
вектора
функции двух переменных
называется
предел отношения приращения функции в
этом направлении к величине перемещения
при
:
характеризует скорость изменения
функции в направлении
.
- направляющие
косинусы.
Пример
7. Вычислить
производную функции
в точке М(1; 1) по направлению вектора
.
Решение.
1)
.
.
2)
3)
.
Частные производные высших порядков
Если
частные производные
и
сами являются дифференцируемыми
функциями, то можно найти так же и их
частные производные, которые называются
частными
производными второго порядка.
Частные
производные от
:
и
.
Частные
производные от
:
и
.
Если
частные производные второго порядка
функции z
непрерывны в точке
,
то в этой точке
.
Пример
8. Найти
частные производные второго порядка
для функции
.
Решение.
Задания для самостоятельного решения
Найти частные производные функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Найти градиент функции в точке.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Найти производную функции
в
точке M (–9; –1) в направлении вектора
.
23.
Найти производную функции
в точке М (0; 0) в направлении вектора
.
24.
Найти
производную функции
в точке М (-2; 3) в направлении вектора
.
25.
Найти производную функции
в точке М (1; 1) в направлении вектора
.
26.
Найти производную функции
в точке А (1; 2) по направлению вектора
;
В (3; 0).
27.
Найти производную функции
в точке М(1; 1) в направлении вектора
,
составляющем угол =60о
с положительным направлением оси Ох.
28.
Найти производную функции
в точке М (3; 4) в направлении градиента
функции z.
Найти частные производные второго порядка функций:
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
11. Исследование функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных
Точка
называется точкой максимума
(минимума)
функции
z
= f(x,
y),
если существует окрестность точки М,
такая, что для всех точек (х,
у)
из этой окрестности выполняется
неравенство
Сформулируем необходимое условие экстремума – многомерный аналог теоремы Ферма.
Теорема.
Пусть точка
есть точка экстремума дифференцируемой
функции z =
f(x,
y).
Тогда частные производные
и
в этой точке равны нулю.
Точки,
в которых выполнены необходимые условия
экстремума функции z
= f(x,
y),
т.е. частные производные
и
равны нулю, называются критическими
или стационарными.
Теорема
(достаточное условие экстремума функции
двух переменных).
Пусть функция z
= f(x,
y):
а) определена в некоторой окрестности
критической точки
,
в которой
и
;
б) имеет в этой точке непрерывные частные
производные второго порядка:
.
.
Тогда, если
,
то в точке
функция z =
f(x,
y)
имеет экстремум, причем если А
< 0 – максимум, если А
> 0 – минимум. В случае
,
функция z =
f(x,
y)
экстремума не имеет. Если
,
то вопрос о наличии экстремума остается
открытым.
Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:
-
Найти частные производные функции
и
. -
Решить систему уравнений
,
и найти критические точки функции. -
Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
-
Найти значения функции в точках экстремума.
Пример
1. Исследовать
на экстремум функцию
.
Решение.
1)
2)
т.
М(-2; -2) –
критическая точка.
3)
.
в
точке М(-2; -2) существует экстремум.
минимум
4)
.
Ответ:
.
Пример
2. Исследовать
на экстремум функцию
.
Решение. 1) Преобразуем функцию:
.
2)
критические
точки
.
3)
Для
точки
:
в
точке
существует экстремум,
максимум.
Для
точки
:
в
точке
нет экстремума.
Для
точки
:
в
точке
нет экстремума.
Для
точки
:
в
точке
существует экстремум,
минимум.
4)
