Знакочередующиеся числовые ряды

Знакочередующийся ряд – ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: , где .

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине (по модулю) и предел его общего члена при равен нулю, т.е. , то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда .

Пример 11. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

ряд сходится по признаку Лейбница.

Знакопеременные ряды

Пусть - знакопеременный ряд, в котором любой член может быть как положительным, так и отрицательным.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

Если ряд, составленный из модулей членов данного ряда сходится, то сходится и данный ряд.

Заметим, что обратное утверждение неверно.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример 12. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

ряд сходится по признаку Лейбница.

3) Ряд, составленный из модулей, имеет вид . Это гармонический ряд, следовательно, он расходится.

Ответ: ряд сходится условно.

Пример 13. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

ряд сходится по признаку Лейбница.

3) Ряд, составленный из модулей, имеет вид . Это обобщенный гармонический ряд, , следовательно, он сходится.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Пример 14. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

ряд сходится по признаку Лейбница.

3) Ряд, составленный из модулей, имеет вид . Исследуем его сходимость, для этого применим предельный признак сравнения. Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Найдём предел ряд расходится.

Ответ: ряд сходится условно.

Задания для самостоятельного решения

Исследовать сходимость ряда:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28.

30. 31. 32. 33.

34. 35. 36. 37.

38. 39. 40.

9. Степенные ряды

Ряды, членами которых являются степенные функции, называются степенными . Числа называются коэффициентами степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем , который сходится при . Отсюда , т.е. областью сходимости является интервал .

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

1) Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях х, таких, что .

2) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях х, таких, что .

Из теоремы следует, что существует такое число , что при ряд сходится, а при - расходится. Число R называется радиусом сходимости.

Интервал - интервалом сходимости степенного ряда.

Для нахождения области сходимости, сначала находят интервал сходимости, затем проверяют сходимость ряда на концах интервала.