Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то и ряд , полученный умножением данного ряда на число λ, также сходится и имеет сумму λS.

2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряд также сходится, и его сумма равна .

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путём отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

Ряд, полученный из данного отбрасыванием его n первых членов, называется n-м остатком ряда: .

4. Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, то есть .

Необходимый признак сходимости

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю:

.

Пример 2. Проверить выполнение необходимого признака сходимости для ряда .

необходимый признак сходимости выполнен.

Следствие из необходимого признака сходимости. Если предел общего члена ряда при не равен 0, т.е. , то ряд расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

необходимый признак сходимости не выполняется ряд расходится.

Теорема выражает лишь необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда. Если , то из этого ещё не следует, что ряд сходится.

Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

Первый признак сравнения. Даны два ряда с положительными членами

и , и выполняется неравенство . Если сходится ряд , то сходится и ряд . Если расходится ряд , то расходится и ряд .

Для сравнения с данным рядом используются эталонные ряды.

1. Геометрический ряд - сходится при , расходится при .

2. Гармонический ряд - расходится.

3. Обобщённый гармонический ряд - сходится при , расходится при .

Второй признак сравнения (предельный). Если и - ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Пример 4. исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним этот ряд с расходящимся гармоническим рядом .

(Выбор основан на том, что при больших значениях n ).

Применим второй (предельный) признак сравнения: данный ряд, как и гармонический, расходится.

Пример 5. исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним этот ряд с геометрическим рядом ; ряд сходится.

Применим первый признак сравнения: ряд сходится.

Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членами.

Если , ряд сходится. Если , ряд расходится.

Если , то вопрос о сходимости ряда остаётся открытым, требуются дополнительные исследования.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Даламбера, для этого найдем n+1-й член ряда: .

ряд сходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. .

ряд расходится.

Интегральный признак сходимости

Дан ряд с положительными членами, для которых выполняется , и функция , определённая при , непрерывная и невозрастающая, и . Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .

Пример 8. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда .

Решение. Применим интегральный признак сходимости. Рассмотрим функцию . При х > 0 (а значит и при ) положительная и невозрастающая. Вычислим несобственный интеграл

если , то

если , то

ряд сходится при , расходится при .

Пример 9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Функция при х > 0 положительная и невозрастающая. Вычислим несобственный интеграл:

данный ряд расходится.

Признак Коши

Пусть - ряд с положительными членами.

Если , ряд сходится. Если , ряд расходится.

Если , то вопрос о сходимости ряда остаётся открытым, требуются дополнительные исследования.

Пример 10. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Коши:

ряд сходится.