Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет специальный вид где - многочлен n-й степени, или , или в общем случае где - многочлен

m-й степени, то частное решение уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Частное решение ищут в похожем на f(x) виде с неизвестными пока коэффициентами, умножая в некоторых случаях на x или на

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 9).

Общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид где - частное решение неоднородного уравнения. Частное решение будем искать в виде . Найдем , подставим их в данное уравнение вместе с и определим коэффициент A.

, 5A = 10, A = 2. Итак, - частное решение данного уравнения. Общее решение уравнения имеет вид

Пример 15. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет единственный корень k=1 кратности 2. Значит, частными решениями соответствующего однородного уравнения будут функции и , при подстановке которых в левую часть уравнения вместе с их производными правая часть уравнения обратится в нуль. Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Найдем , , подставим их в данное уравнение и определим коэффициент A:

Отсюда 2A = 1,

Итак, - частное решение данного уравнения. Тогда общее решение будет иметь вид:

Пример 16. Решить уравнение

Решение. Общее решение однородного уравнения найдено в примере 13. Так как правая часть данного уравнения является многочленом второй степени, то и частное решение неоднородного уравнения ищем в виде многочлена второй степени Находим , подставляем их в уравнение и определяем коэффициенты A, B, C :

или

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях последнего равенства:

Отсюда находим A = 1, B =0, Следовательно, - частное решение данного уравнения. Тогда общее решение будет иметь вид:

Пример 17. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни Общее решение однородного уравнения имеет вид Так как уравнение не содержит искомой функции y а, значит, при дифференцировании степень многочлена понизится на единицу, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях последнего равенства, получим систему для нахождения A, B, C:

Отсюда

- частное решение данного уравнения.

Общее решение имеет вид:

Пример 18. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение не имеет действительных корней. Общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Подставляя , и в уравнение, находим коэффициенты A и B .

Приравнивая коэффициенты перед и в правой и левой частях равенства, получим

Отсюда A = 39, B = 26. Следовательно, - частное решение неоднородного уравнения. Значит, - общее решение данного уравнения.