Уравнения, допускающие понижение порядка
Если
уравнение
или
не содержит искомой функции y
= y(x),
то есть имеет вид
или
,
то порядок такого уравнения можно
понизить, взяв за новую неизвестную
функцию производную
то есть
где z
= z(x).
Тогда
и уравнение
сводится к уравнению первого порядка
относительно функции z:
Пример
7. Решить
уравнение
Решение.
Уравнение не содержит искомой функции.
Заменим
Тогда
и
уравнение примет вид
Это
уравнение с разделяющимися переменными
Интегрируя,
получим:
Отсюда
Ответ:
Если
в уравнение не входит переменная x,
т.е. оно имеет вид
или
то
порядок уравнения можно понизить, если
за независимую переменную взять y,
а за неизвестную функцию
Тогда
Пример
8. Решить
уравнение
Решение.
Уравнение не содержит явно аргумента
x.
Заменим
Тогда
и уравнение преобразуется к виду
Разделим
переменные и проинтегрируем:
Так как
мы имеем уравнение
Решая
это уравнение, найдем:
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейным
дифференциальным уравнением второго
порядка
называется уравнение вида
Если
f(x)=0,
то уравнение называется линейным
однородным,
а если
то линейным
неоднородным.
Функции
называются линейно
независимыми,
если для любых чисел
тождество
возможно только при
Для
двух функций
и
линейная независимость означает, что
их отношение
где C
- постоянная.
Если
- два линейно независимых решения
линейного однородного уравнения
то
линейная комбинация
этих решений с произвольными
коэффициентами
будет общим решением этого уравнения.
Пример
9. Найти общее
решение уравнения
Решение.
Подстановкой нетрудно проверить, что
функции
являются решениями данного уравнения.
Эта система функций линейно независима,
так как
Значит, общее решение уравнения имеет
вид
Общее
решение линейного неоднородного
уравнения
равно
сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения
и какого-нибудь частного решения
неоднородного уравнения
,
т.е. общее решение уравнения
ищется
в виде
Пример
10. Найти
общее решение уравнения
Решение.
Подстановкой убеждается, что
- частное решение данного уравнения.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения найдено в примере
9. Следовательно, общее решение данного
уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным
однородным дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными
коэффициентами
называется уравнение вида
,
где p
и q
- действительные числа.
Частные
решения этого уравнения ищем в виде
.
Подставляя в левую часть уравнения эту
функцию вместе с ее производными
и
,
получаем алгебраическое уравнение для
k:
или
.
Уравнение
называется характеристическим.
Общее решение уравнения
зависит от вида корней характеристического
уравнения. Возможны три случая:
1)
Корни уравнения
и
- различные действительные числа
В этом случае частными решениями будут
функции
и
Эти решения линейно независимые, так
как
Значит, общее решение уравнения
имеет вид
.
2)
Корни уравнения
равные действительные числа
В
этом случае одно частное решение имеет
вид
.
Подстановкой можно убедиться, что
функция
также является решением уравнения
.
Так как
то эти решения линейно независимы.
Значит , общее решение уравнения
имеет вид:
.
3)
Уравнение
не имеет
действительных корней.
имеет вид
где
.
Пример
11. Найти
общее решение уравнения
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет равные корни
Общее решение имеет вид
Пример
12. Найти
частное решение уравнения
удовлетворяющего начальным условиям:
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
Общее решение имеет вид
Подставляя
начальные условия в общее решение и в
его производную
получим
систему уравнений относительно
и
Отсюда находим
Значит,
общее решение уравнения имеет вид
Пример
13. Найти
общее решение уравнения
Решение.
Характеристическое уравнение
не имеет действительных корней (
не являются действительными числами).
В этом случае имеем
Значит, общее решение уравнения имеет
вид
