Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если функции P(x,y) и Q(x,y) удовлетворяют условию то есть его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y).

Если уравнение переписать в виде du(x,y) = 0, то его общий интеграл определяется равенством u(x,y) = C.

Так как левая часть уравнения есть полный дифференциал функции u(x,y), то и функция u(x,y) должна удовлетворять системе уравнений (*)

Интегрируя по x первое уравнение, получим где произвольная функция от y.

Выберем так, чтобы функция была решением и второго уравнения системы (*). Дифференцируя найденную функцию u(x,y) по переменной y и приравнивая полученную производную к Q(x,y), получим уравнение

Интегрируя это уравнение, находим функцию Подставляя в, получим искомую функцию u(x,y).

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Здесь P(x,y) = 2y – 3, Следовательно, это уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Находим функцию u(x,y), используя равенство :

Из равенства находим функцию затем :

Отсюда и общее решение уравнения имеет вид

Замечание. При нахождении функции по её полному дифференциалу получаем множество функций u(x,y) = C, где C произвольная постоянная. Для решения уравнения нам достаточно было найти одну функцию этого множества, а затем приравнять её C.

Задания для самостоятельного решения

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

8. 9. 10. 11.

Решить задачу Коши для уравнений с разделяющимися переменными:

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18. 19. .

Решить однородные уравнение первого порядка:

20. 21. 22.

23. 24. 25.

26. 27. 28.

29. 30. 31.

Решить линейные уравнения первого порядка:

32. 33. 34. 35.

36. 37. 38.

39. 40. 41. 42.

13. Дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида .

Это уравнение связывает независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные до n-го порядка.

Будем рассматривать в основном уравнения второго порядка .

Если это возможно, то в виде, разрешенном относительно высшей производной, уравнение записывают как .

Общим решением уравнения или называется функция содержащая две произвольные постоянные и удовлетворяющая условиям:

1) при любых постоянных и функция является решением уравнения;

2) каковы бы ни были начальные условия , при соответствующем выборе произвольных постоянных и эта функция является решением уравнения и удовлетворяет этим начальным условиям.

Всякое решение, полученное из общего решения для конкретных значений постоянных, называется частным решением этого уравнения.

Простейшие уравнения вида решаются последовательным

n-кратным интегрированием.

Пример 6. Найти общее решение уравнения

Решение:

Обозначивполучим общее решение .