Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида или называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Решение уравнения .

Преобразуем уравнение к виду, в котором дифференциал и функция переменной x окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Для этого обе части уравнения делим на g(y) и умножаем на dx . Получаем уравнение , предполагая, что .

Если бы , то уравнение имело бы вид и решение . Если бы g(y) = 0 при каком либо значении , то было бы решением уравнения .

Проинтегрировав обе части уравнения , получим общий интеграл .

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, так как его можно представить в виде: , где .

Умножая обе части уравнения на , разделяем переменные. Получаем уравнение

Интегрируя обе части, получаем общий интеграл

В данном случае общее решение может быть записано в виде

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если можно представить как функцию только отношения переменных , т.е. уравнение вида

Понятие однородного уравнения связано с однородными функциями.

Функция называется однородной степени k, если при любом t выполняется тождество

Например, функция является однородной второй степени, так как

Если функция однородная степени 0, то уравнение можно привести к однородному.

Заменив , получим

Уравнение сводится к однородному, если - однородные функции одной степени.

С помощью замены , где z=z(x) - новая неизвестная функция, однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Действительно, так как , то

Подставив эти выражения для и в уравнение , получим уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим Тогда - общий интеграл уравнения.

Замечание. При решении однородного уравнения не обязательно приводить его к виду . Можно сразу делать подстановку y = zx.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение. Это однородное уравнение, так как функции и - однородные (второй степени). Полагая y = zx, имеем dy = xdz + zdx и уравнение примет вид

Сокращая на и, собирая члены, содержащие dx и dz, получим Разделим переменные:

Интегрируя, получим или Подставляя получим или .

Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид где p(x) и f(x) непрерывные функции.

Функция у и её производная входят в уравнение в первой степени. В случае, когда функция тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Общее решение линейного однородного уравнения легко находится разделением переменных: где C - произвольная постоянная.

Уравнение можно решить методом Бернулли с помощью замены y произведением двух вспомогательных функций , где u = u(x), v = v(x) - новые неизвестные функции.

С помощью подстановки уравнение преобразуется к виду или

Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций, например, v может быть выбрана произвольно (так как мы имеем одно уравнение и две неизвестные функции), за v принимают любое частное решение уравнения с разделяющимися переменными, обращающее в нуль множитель при u в последнем уравнении.

Подставляя найденную функцию v в предыдущее уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными Из него находим неизвестную функцию u. Затем общее решение уравнения находим по формуле y = uv.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Заменим y = uv. Тогда и уравнение преобразуется к виду или

Приравняв скобку к нулю и разделив переменные, найдем функцию v:

, где v - частное решение вспомогательного уравнения.

Подставив найденную функцию v в предыдущее уравнение, и учитывая, что выражение в скобках равно нулю, получим уравнение для нахождения u: Отсюда

Умножая u на v, получаем общее решение данного уравнения

Замечание. Некоторые уравнения относятся к линейным, если рассматривать x как функцию от y. Такое уравнение имеет вид: