7. Определённый интеграл Понятие определённого интеграла

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Разобьём отрезок на n частей . Внутри каждой части выберем точку и составим сумму вида . Пусть , тогда если существует предел , который не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек , то он называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается

а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, σ – интегральная сумма Римана.

Основным необходимым условием существования интеграла Римана является ограниченность функции на отрезке . Отличие неопределённого и определённого интегралов в том, что неопределённый интеграл представляет собой семейство функций, а определённый интеграл является числом.

Геометрический смысл определённого интеграла.

Если функция неотрицательна на отрезке , где a < b, то численно равен площади S под кривой на отрезке .

Экономический смысл определённого интеграла

Если - производительность труда в момент времени t, то - объём выпуска продукции за промежуток времени .

Достаточное условие существования определённого интеграла (интегрируемости функции): если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определённого интеграла

1.

2.

3. , где .

4. Если на , то

Если на , то

5.

6. Пусть - интегрируема на , и точка с такая, что a < c < b, тогда .

Формула Ньютона – Лейбница

Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определённый интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке:

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. .

Замена переменной в определённом интеграле

Пусть непрерывна на . , где - непрерывная функция вместе со своей производной ; ; , тогда .

При введении новой переменной изменяются пределы интегрирования, т.н., если , то для вычисления нового нижнего предела нужно задать и из уравнения выразить . Для вычисления верхнего предела: .

При использовании замены переменной необходимо, чтобы направления изменений x и t совпадали.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. .

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид: . Рекомендации по выбору u и dv остаются точно такими же, как и для формулы интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

Пример 3. Вычислить интеграл.

Решение.

.

Вычисление площадей плоских фигур

Из понятия определённого интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком кривой , снизу – осью Ох, с боков – прямыми и , равна .

Если же необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций и , с боков – прямыми и , то .

Если необходимо определить площадь фигуры, заключённой между двумя кривыми и , то нужно найти точки пересечения этих кривых, абсциссы которых будут равны a и b.

График функции может располагаться и ниже оси Ох, при этом имеют место те же формулы.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

.

Иногда бывает удобно поменять функцию, относительно которой происходит интегрирование.

Площадь фигуры, ограниченной с боков графиками функций и , сверху и снизу прямыми и , вычисляется по формуле: .

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций , .

Выразим х: . Для того чтобы найти точки пересечения кривых, приравниваем значения функций:

.

.