2.2.3. Временные характеристики и спектры сигналов системы управления

Как было отмечено выше, условия точного воспроизведения сигнала по его дискретной выборке основаны на использовании идеального фильтра и ограниченности спектра самого сигнала f(t). В теории сигналов и их обработки доказывается справедливость следующего соотношения между длительностью сигналаТ и шириной его полосы пропусканияW:

Т  W  1/. (2.10)

Смысл этого выражения в том, что величины Т иWне могут оба иметь произвольно малое значение. Сигнал малой длительности имеет широкую полосу, а сигнал с узкой полосой должен иметь большую длительность. Что касается ширины спектра сигналов систем управления, то как следует из свойства преобразования Фурье, поскольку сигналы конечны во времени, то их спектр имеет бесконечную ширину.

На рис. 2.14 рис. 2.15 приведены поучительные примеры типовых сигналов и их спектров.

Рис. 2.14 Четыре вида импульсов

Прямоугольный импульс, x1(t),и треугольный импульс,x2(t),имеют спектральные «хвосты», спадающие со скоростями соответственно 6 дБ/октава и 12 дБ/октава. При одинаковых значенияхТтреугольный импульс имеет несколько меньшую эффективную длительность, следовательно, ширина спектраX2(ω )больше, чем ширина спектраX1(ω ).Весьма распространенный сигналx3(t)носит название приподнятого косинусоидального импульса (или окно Хэннинга). Хвосты его преобразования Фурье спадают со скоростью 18 дБ/октава. Поскольку сигналx3(t)еще уже, чем треугольный импульсx2(t),его спектрX3(ω )имеет большую ширину. Это иллюстрирует общий принцип: если интервал, в которомx(t)отличен от нуля, ограничен, то увеличение скорости спадания" «хвостов» в его спектреX(ω) вызывает соответствующее расширение спектра. Четвертый импульс,x4(t)(называемый импульсом Хэмминга ), иллюстрирует один из многих часто используемых компромиссов. В этом случае, комбинируяx3(t)иx1(t)с соответствующими весовыми коэффициентами, можно значительно снизить уровень боковых лепестков спектраX4(ω) непосредственно примыкающих к основному лепестку, но за это приходится платить снижением скорости убывания «хвостов».

Рис. 2.15. Спектры импульсов, изображенных на рис. 2.14

2.2.4. Компромисс между точностью и устойчивостью

Из рассмотренных выше примеров следует, что для повышения точности воспроизведения сигнала следует уменьшить период квантования Т. Однако эта величина в цифровых системах определяется периодом сканирования программы контроллера и уменьшение Т ограничено быстродействием процессора и устройств ввода/вывода. Повысить точность аппроксимации сигнала по его дискретной выборке можно также за счет увеличения объема выборки, но это приводит к увеличению запаздывания в системе, и, следовательно, к серьезным проблемам с обеспечением устойчивости. Таким образом, в процессе проектирования необходимо находить компромисс между требованиями устойчивости и желанием получить точную аппроксимацию непрерывного сигнала.

Задача состоит в том, чтобы при имеющемся ряде чисел f(0),f(Т), ...,f(kТ), ... ,или последовательности импульсов с амплитудой в моменты времениt=kT, равнойf(kТ) приk= 0, 1, 2, ... , восстановить непрерывный сигналf(t),t0, по информации, содержащейся в этих дискретных данных. Этот процесс может рассматриваться как процесс экстраполяции, так как непрерывный сигнал должен быть восстановлен на основании информации, доступной только в предшествующие моменты выборки. Например, исходный сигналf(t) между двумя последовательными моментами выборкиkTи (k+ 1)Tдолжен оцениваться на основании значенийf(t) во все предшествующие моменты выборкиkT,(k-1)T, (k-2)T, ... , 0; т.е. по значениямf(kT),f[(k-1)T],f[(k-2)T], ... ,f(0).

Известный метод получения требуемой аппроксимации основан на разложении f(t) в ряд на интервале между моментами выборкиkTи (k+1)T, т.е.

Для того чтобы вычислить коэффициенты ряда, заданного выражением (2.11), производные функции f(t) должны быть получены в моменты выборки. Поскольку единственная доступная информация обf(t) -это ее значения в моменты выборки, то производные должны оцениваться по значениямf(kT). Простое выражение, включающее только два дискретных значения, дает оценку первой производнойf(t) в моментt=kTв виде

f’(kT) = [f(kT) – f(k-1)T]/T, (2.15)

аппроксимированное значение второй производной сигнала f(t) приt=kTравно:

f’’(kT) = {f’(kT) –f’[(k-1)T]}/T. (2.16)

Подставляя (2.15) в (2.16) получаем

f’’(kT) = {f(kT) – 2f[(k-1)T] +f[(k-2)T]}/T². (2.17)

Из аппроксимированных значений f’(kT) иf’’(kT) видно, что чем выше порядок производной, которую нужно аппроксимировать, тем большее число требуется предшествующих выборок. В самом деле, можно легко показать, что число предшествующих выборок, необходимых для аппроксимации значенияf⁽ⁿ⁾(kT), равноп +1. Таким образом, описанное выше экстраполирующее устройство состоит, по существу, из набора временных задержек, а число которых зависит от точности оценки временной функцииf(t). Неблагоприятное влияние временного запаздывания на устойчивость систем управления с обратной связью хорошо известно. Поэтому попытка использовать производную более высокого порядка для более точной экстраполяции часто наталкивается на серьезные трудности в сохранении устойчивости системы. Более того, экстраполяция высокого порядка требует также сложных схемотехнических решений и приводит к высоким затратам при их реализации. По этим двум причинам на практике очень часто используется только первый член выражения (2.11).

Устройство, в котором реализован только член f(kT) из выражения (2.11) для временного интервалаkTt< (k+1)T, обычно называютэкстраполятором нулевого порядка,так как используемый полином имеет нулевой порядок. Подобное устройство также широко изветно какфиксатор нулевого порядка,поскольку оно фиксирует значение предыдущей выборки в течение данного периода квантования до следующей выборки. Устройство, которое реализует первые два члена выражения (2.11), называетсяфиксатором первого порядка,так как реализуемый им полином имеет первый порядок.