Основные понятия и определения теории управления

1)СистемойSназывается отношение на непустых абстрактных множествахгде множествоV_i- объект системы. ЕслиIконечно то

2)Пустьиобразуют разбиение множестваI.

- условие полноты;

- условие единственности;

- входные объекты или вход;

- выходные объекты или выход;

- система вход-выход (черный ящик).

Если V_iявляются функциями времени и пространства то система динамическая.V_iв основном представляются в виде мультипликации параметраa_iи переменнойx_i .

Если параметр a_iне зависит от времени и пространства, то система будет с постоянными параметрами.

Если a_i является функцией пространства, то система называется с распределенными параметрами.

Если a_i является функцией времени, то система называется с распределенными параметрами.

Для того чтобы служить различным целям в различных конкретных системах теория движения удовлетворяет предельно общему и чисто математическому подходу.

Нами в подходе будут использованы следующие принципы:

1. аксиоматическое введение понятий с самым строгим исследованием поведения;

2. одинаковое отношение как к системам целенаправленного поведения так и к системам преобразующим входные величины в выходные;

3. математические структуры, обеспечивающие формализацию основных отношений, должны обеспечивать строгость и общность утверждений.

Определение и основные свойства линейного пространства

Пусть V- множество элементов с двумя операциями:

а) сложение элементов множества;

б) умножение элементов множества на число.

Аксиомы:

Если

Если

Следствия или свойства

Свойство 1:Сложение векторов коммутативно.

Свойство 2:Сложение векторов ассоциативно.

Свойство 3:Существует хотя бы один элемент.

Свойство 4:Для всякого элементасуществует хотя бы один.

Свойство 5:Существует хотя бы один элемент

Описание состояния системы

Возьмем список величин (скалярных) . Введем систему векторов

Система векторов называется линейно-независимой или базисом, еслисправедлива только приa_i=0iJ={1N}.

Рассмотрим систему уравнений

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n+b₁₁u₁+b₁₂u₂+…+b_1mu_m=0

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n+ b₂₁u₁+b₂₂u₂+…+b_2mu_m=0

a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n+ b_n1u₁+b_n2u₂+…+b_nmu_m=0

Которую в матричной форме можно записать:

Это алгебраическая система линейных уравнений, которые связывают вектор зависимых переменных (состояний) и вектор независимых или произвольных переменных(управлений).

Решение такой системы уравнений известно и требует несингулярнотси матрицы А.

Рассмотренные уравнения инвариантно по времени.

Разрушим эту инвариантность, потребовав - форма Коши, т.е. сделав(t) – функцией времени, а систему динамической.

- вектор состояния;

– уравнение состояния;

- вектор управления;

- уравнение выхода;

- переходная функция.

В общем случае система может быть описана системой дифференциальных уравнений:

– состояние

– выход

– переходная функция

Линеаризация

1)Пусть имеем динамическую систему

где

и– матрицы Якоби

– начальное условие

2)Конечные разности

3. 

4)Метод наименьших квадратов

5)Гармоническая линеаризация

Класс существенно нелинейных элементов можно разделить на группы:

а) однозначные нелинейности

б) многозначные нелинейности

a) для однозначной нелинейности

b) для многозначнойнелинейности

Минимизация ошибки

Среднее значение квадрата разности, где

В общем случае

- алгебра.

Для определения (см. в конце)

Пример.Система управления перевернутого маятника.

S(t) – линейное положение

φ(t) – угловое положение

m– масса маятника

М – масса тележки

Н – горизонтальная сила реакции

V– вертикальная сила реакции

Предположим, что H(t)≈0,т.к.m<<M и φ- мал.

Тогда система уравнений имеет вид:

Линеаризация:

- согласно исходному уравнению

В окончательном виде:

F/M=1 сек^-1 1/М=1 кг^-1

g/L’=11,65 сек^-2 L’=0,482 м.

Пример:Смесительный бак.

РасходF₁РасходF₂

Конц. С₁Концентрация С₂

V– объем

hС - концентрация

S- площадь

Расход F

Концентр. С

1. Баланс масс .

2. Баланс концентраций

Установившееся состояние

Пусть F₁=F₁₀+f₁

F₂=F₂₀+f+2

V=V₀+v

C=C₀+ξ

Пусть

F₁₀=0,015 м³/сек С₁=1 кмоль/м³

F₂₀=0,005 м³/сек С₂=2 кмоль/м³

F₀=0,02 м³/сек С₀=1,25 кмоль/м³

V₀=1 м³ θ=50 сек