Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции / lekcii_po_operacionnomu_ischisleniyu_v_zadachah_tau.doc
Скачиваний:
79
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
1.55 Mб
Скачать

20. Свертка функций.

Пусть заданы две функции и, определенные на всей действительной оси. Времяtменяется отдо.

(1)

Введем новую функцию, которую назовем сверткой двух функций и.

(2)

Считается это следующим образом:

- свернутая с функцией. Для получения сверткииследует заменить переменнуюtна, затем в функцииаргументзаменить на, то есть образовать, перемножить две функции, а затем взять интеграл.

Основные свойства свертки функций:

  1. Свертывание двух функций обладает свойством коммутативности. То есть:

(3)

Доказательство

Докажем, что

Обозначим и запишем:

Свойство коммутативности свертки аналогично свойству коммутативности двух чисел.

  1. Свойство ассоциативности.

Если заданы , то справедливо следующее соотношение:

(4)

Введем обозначения:

и

Свойство (4) будет доказано, если будет установлено следующее равенство:

(5)

Подставим в функцию:

Вводим и получаем:

Меняем порядок интегрирования и получаем:

Так как значение интеграла не зависит от наименования переменной интегрирования, то правая часть этого равенство совпадает с правой частью равенства (5).

3) Свойство дистрибутивности.

Заданы 3 функции и, для них справедливо следующее равенство:

(6)

Доказательство

Имеем

Следовательно, формула (6) справедлива. Если ипри, то, когда. И, когда.

Следовательно, , когда.Тогда свертка функций выглядит так:

(7)

21. Определение оригинала по изображению.

(1)

Обратное преобразование Лапласа определяется по формуле (1). Установим однозначное соответствие между изображением и оригиналом в точках непрерывности f(t).

Пусть F(s) является изображением, и пусть, когда, имеет конечное число полюсов.F(s) удовлетворяет условиям леммы Жордана.

Лемма Жордана.

При F(s), стремящейся на дугек нулю приравномерно относительноargsпри любом положительном значенииt, имеем:

(2)

Где - часть окружности с радиусомR, находится в полуплоскости.

А теперь, применяя теорему о вычете, получаем:

(3)

Так как изображение F(s) является оригиналом, где, то все полюсы находятся на прямой, параллельной мнимой оси и проходящее через точку.

При следует положить, чтоf(t) тождественно равна нулю. Следовательно, присогласно лемме Жордана справедливо:

(4)

При этом - часть окружностиCс радиусомR, который находится в полуплоскости. Следовательно, присправедливо:

Так как изображение F(s) – аналитическая функция, для которой сумма вычетов равна нулю.

22. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа.

Имеется линейное дифференциальное уравнение:

(1)

Заданы начальные условия:

Алгоритм нахождения обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений второго порядка.

(2)

23. Прямое и обратное преобразование Фурье.

Совокупность операций, которые позволяют по f(t) найти соответствующую ей спектральную характеристикуназывается преобразованием Фурье.

Преобразование Фурье задается формулой:

(1)

Символически преобразование Фурье будет обозначаться следующим образом:

(2)

Интеграл правой части уравнения (1) понимается как главное значение:

Равенство (1) устанавливает связь между функцией f(t), аргументом которой является действительное числоtи комплексная функция, в качестве аргумента которой играет частота.

Пример

Найти спектральную характеристику . При этоми это действительное число.

Решение

Заданная функция на всей оси времени tкусочно – непрерывна и абсолютно непрерывна, поэтому она преобразуема по Фурье.

Покажем, что интеграл (1) абсолютно и равномерно по отношению к параметру сходится. Для этого надо оценить интеграл по модулю:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.