10. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.

Функция f(z) аналитична в точкеG. Ее производная не равна нулю. Далее считаем, что опытом кривойна плоскостиzбудет криваяв плоскостиw.

Пусть точкииплоскостиzсоответствует значению координати, а точкамив плоскостиwсоответствуют координатыи. Тогда значенияи, следовательно

Тогдаи,.изаймут положение касательных и предел

(1)

Определяется по (1).

Из уравнения (1) следует, что аргумент производной функции в точкепредставляет собой угол поворота касательной к кривойв точкепри отображении этой кривой на плоскостиwс помощью. В этом геометрический смысл производной

Если рассматривать кривую , проходящую через точкуM, то запишем равенство

. И, принимая во внимание равенство (1), получим

(2)

Таким образом, если на плоскости zвыбрать две кривыеии отобразить их на плоскостиw, то получим кривыеи. При отображении с помощью аналитической функцииf(z) углы между кривыми сохраняются при условии, что.

Геометрический смысл модуля производной.

Рассмотрим модуль отношения. По свойству имеем отношение длин секущих:

Устремим . В результате получаем:

(3)

Из выражения (3) видно, что модуль производной характеризует растяжение или сжатие бесконечно малых векторов, начало которых в точке , если есть отображение. Это растяжение или сжатие не зависит от напряжения бесконечно малых векторов. Из геометрических свойств модуля и производной следует, что отображение с помощью аналитических функций в окрестности данной точки будетподобным.

11. Понятие об интеграле функции комплексного переменного.

Будет считать, что задана функция непрерывна в точкеGплоскостиz, и задана криваяAB, принадлежащая плоскостиG.

Разобьем кривую ABнаnчастей и составим уравнение:

(1)

- произвольная точка на интервале комплексного переменногоz.

Обозначим и вычислим предел (1). Назовем его интегралом. Если этот предел существует и не зависит от способа разбиение кривойABна части и от выбора точки и , то он называется интегралом от функцииf(z) вдоль кривойAB. ЕслиABкусочно гладкая(на кривой может быть четное число изломов), а функцияf(z) кусочно непрерывная и ограниченная, то этот интеграл также существует.

(2)

Формула (2) позволяет вычислить интеграл (1) через криволинейный интегралы. Кроме того, из (2) следует, что интеграл функции комплексного переменного обладает интегральной теоремой Коши.

12. Интегральная теорема Коши.

Пусть область G– односвязная в областиz,- замкнутая кривая, которая лежит в этой области. Тогда справедлива теорема Коши. Пустьf(z) аналитична в областиz, тогда интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю:

(1)

Пусть задана областьGи 2 кривыеи. Эти кривые лежат в плоскостиGи имеют общие концыAиB, тогда для любой аналитической функцииf(z) справедливо:

А это значит, что если f(z) аналитична в некоторой областиG, то интеграл по кривойсоединяет точкиAиBи зависит от расположения точек.

Распространим теорему Коши на многосвязную область. Пусть G– многосвязная область, а- кривая в этой области. Пусть, которые лежат внутри контура. Все контуры принадлежатG.

Область ограничена снаружи контуром, а изнутри контуром, которые лежат в областиG. Совокупность векторовназывается составным выпрямляющим контуром Г. Зададим на контуре Г направление от входа, он будет считаться положительным, если обходить область по часовой. Положительным направлением будет считаться то, если областьостается слева. Пусть функцияf(z) многосвязная в областиGаналитична. Тогда интеграл по любому составному контуруG равен нулю.