- •60 Вопросов 60 ответов
- •1. Алгоритм работы системы управления с отрицательной обратной связью.
- •2. Функциональная схема. Основные элементы систем управления
- •3. Структурная схема системы управления. Сигналы, действующие в системах
- •4. Входы, выходы систем управления
- •5. Назначение систем управления
- •6. Функциональный, структурный анализ системы управления
- •7. Примеры систем управления
- •8. Классификация систем управления
- •9. Типовые модели детерминированных сигналов
- •17. Решение дифференциального уравнения численным методом Эйлера
- •18. Операторный метод решения дифференциальных уравнений.
- •20. Получение передаточных функций из дифференциальных уравнений.
- •22. Линеаризация статических и динамических характеристик.
- •23. Статические и динамические характеристики элементов (системы)
- •24. Статическая характеристика. Статические, астатические элементы.
- •25. Временные характеристики динамических звеньев
- •26. Частотные характеристики динамических звеньев
- •27. Логарифмические частотные характеристики.
- •28. Дифференциальное уравнение n-го порядка. Модели основных типовых звеньев.
- •29. Усилительное звено. Математическая модель, характеристики.
- •30. Апериодическое звено первого порядка. Математическая модель, характеристики.
- •31. Интегрирующее звено. Математическая модель, характеристики.
- •32. Дифференцирующее звено. Математическая модель, характеристики.
- •33. Звено второго порядка. Математическая модель, характеристики.
- •34. Эквивалентные модели последовательного, параллельного, встречно-параллельного соединений элементов системы управления.
- •18. Виды передаточных функций системы управления, их определение по передаточным функциям элементов системы.
- •20. Анализ ошибок системы при различных законах изменения задающего воздействия.
- •19. Методы разработки систем управления.
- •Классический метод решения дифференциальных уравнений:
- •1. Упрощение временных функций.
- •3) Обратное преобразование Лапласа.
20. Получение передаточных функций из дифференциальных уравнений.
1. Дифференциальное уравнение первого порядка
1) Преобразуем уравнение по Лапласу – заменим , а вместо знака производной запишем оператор
2) Вынесем за скобки и найдем отношение, которое является передаточной функцией
2. Астатическое звено второго порядка.
Обозначив , получим
Методы прямого, обратного преобразования Лапласа (таблицы, MathCad).
Примеры решения дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа.
Пример 1.Нахождение методом преобразования Лапласа выходного сигнала апериодического звена первого порядка при единичном ступенчатом входном сигнале (функции Хевисайда). Изображение единичной функции по Лапласу
Находим изображение выходной переменной .
Находим обратное преобразование Лапласа, используя табличное выражение
Учитывая, что, получаем
Переходная характеристика звена первого порядка . График переходной характеристики приведен на рис. . Выходная величина по экспоненте стремится к установившемуся значению.
Пример 2.Нахождение весовой характеристики апериодического звена первого порядка.
Весовая характеристика это реакция звена на единичное импульсное воздействие (функцию Дирака). . Изображение по Лапласу.
Изображение выходной переменной есть сама передаточная функция
Используя табличное преобразование , находим, учитывая,
Реакция звена первого порядка на дельта функцию Дирака имеет вид ниспадающей экспоненциальной функции с начальным значением ( см. рис. ). Скорость падения определяется коэффициентом Т, который имеет размерность времени и называется постоянной времени. Подставив времяв выражение весовой функции можно увидеть, что за это время график весовой функции падает соответственно до 0,05 и 0,02 от начального значения, т.е. время выхода выходной переменной на установившееся значение (соответственно, с 5% и 2% точностью) составляет (3 - 4)Т. На рис. . приведены, построенные вMathCadпереходная и весовая характеристики звена первого порядка с передаточной функцией.
Задание 1.
Рассчитать и построить графики весовой
и переходной функции звена первого
порядка, заданного передаточной
функцией
Определим
корень характеристического уравнения,
используя функцию MathCad нахождения
корней полинома polyroots(x)
Корень
отрицательный, следовательно, звено
имеет апериодический сходящийся
переходной процесс.
Найдем выход
звена при импульсном входном сигнале Дельта функция
имеет прямое преобразование Лапласа
L((t))=1 Следовательно,
весовая функция элемента является
обратным преобразование от предаточной
функции элемента.
Переходная
характеристика во временной области
Прямое
преобразование Лапласа от ступенчатой
единичной функции Хевисайда L(1[t])=1/p
Переходная характеристика в операторной
области (как функция от p)
Построим
графики весовой и переходной характеристик
и отформатируем их для наглядного
представления результатов.
Задание 2.
Рассчитать и построить графики весовой
и переходной функции звена второго
порядка, заданного передаточной
функцией
Анализ
исходных корней звена. Определим
корни характеристического уравнения
элемента
Корни
характеристического уравнения
комплексные с отрицательной вещественной
частью, следовательно мы имеем
колебательной звено с затухающими
переходными процессами.
Весовая функция
исходного элемента
Переходная
характеристика элемента
Графики весовой
и переходной характеристик имеют
затухающий колебательный характер