22. Линеаризация статических и динамических характеристик.

Закономерности работы элементов системы в общем случае являются нелинейными, что существенно усложняет анализ работы систем. Однако при эффективно работающих системах диапазон изменения переменных объекта небольшой, что позволяет упростить анализ систем управления путем перехода к описанию закономерностей линейными уравнениями. Это поясняется графиком на рис. . На графике видно, что при измененииxв диапазоненелинейная зависимостьможет быть аппроксимирована линейным уравнением. Но значения коэффициентов линейного уравнения зависят от места нахождения рабочей точки на.

Таким образом, нелинейную систему можно анализировать как линейную, что очень распространено в теории управления при малых отклонениях от рабочей точки.

Методы линеаризации.

1. Метод разложения в ряд Тейлора.

Из курса математики известно, что любую функцию в окрестности точки можно с большой точностью разложить в ряд Тейлора:

При оставлении одного члена ряда функция аппроксимируется уравнением прямой

Вкачестве примера найдем линейную аппроксимацию для квадратичной функции

y=2x²

При x₀=2 f(x)=8+8x

При x₀=4 f(x)=32+16x

1. Метод наименьших квадратов. При узком диапазоне изменения переменных линеаризация путем использования уравнения касательной (ряд Тейлора) достаточно точен, но для выпуклой/вогнутой кривой все линеаризованные значения лежат выше/ниже фактических, что дает ошибку существенную при больших изменениях диапазона, поэтому часто используют метод наименьших квадратов МНК. Примем описания зависимостив рабочем диапазоне измененияxуравнением прямой линии в электронных таблицахExcelприведен на рис. .

Линеаризация дифференциальных уравнений.Линеаризацию дифференциальных уравнений рассмотрим на примере построения математической модели. Имеется реактор с мешалкой. На входе реактора два потока: первый - химический реагент с расходом и концентрацией, второй поток - вода с расходом в единицу времени, на выходе один поток с расходом и концентрацией(рис. 5).

Расходы на входе и концентрация первого потока могут изменяться. Построить математическую модель объекта управления в виде дифференциального уравнения и передаточные функции входных переменных на концентрацию на выходе

Объект управления имеет три входа и один выход (рис 5 б).

В системах стабилизации устанавливается статический режим. В системах программного управления, следящих системах координаты системы должны изменяться по заданному закону но из-за действующих возмущающих воздействий данные координаты смещаются от заданных значений. Зависимости, описывающие их движения, также могут быть нелинейными. Но так как при эффективной работе систем управления отклонения невелики, то зависимости можно линеаризовать. Можно производить линеаризацию отдельных звеньев и систем.

Используют метод разложения в ряд Тейлора. Пусть уравнение системы Еслиf=f₀,u=u₀, то после окончания переходного процесса система придет в установившееся состояние, т.е. в статический режим.

Система программного управления. . Задана траектория движения системы.

Уравнение движения системы в отклонениях от заданной траектории:.Подставим переменные в исходные уравнения и запишем:

Линейное уравнение, описывающие отклонения координат системы от заданной траектории. Если время tявно не входит в уравнение (имеется ввиду не производная, а напримерк₀(t)) и коэффициенты не зависят отt, то имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Это самый простой случай, но имеет частое применение для полного анализа системы или как первый шаг ее анализа. Далее система может усложняться путем ввода новых факторов, которые на первом этапе были отброшены.

Запишем уравнение линеаризации системы:

1) u, x  0.

2) F(x,u,f)обладает непрерывными частными производными по всем аргументам.

Пример: составим уравнение движения электродвигателя.

, - нелинейные

функции

Линеаризуем нелинейные функции:

Уравнение в статике ,

,uu.

Математические модели в пространстве состояния.

Системы управления и их элементы описываются различными математическими моделями:

-дифференциальными уравнениями,

- передаточными функциями,

- временными характеристиками,

- частотными характеристиками и др.

Модели различных систем имеют различный порядок и различную структуру и поэтому методы их решения также изменяются.

Важно иметь модель, вид которой для различных систем не изменяется и метод решения может быть единым. Такой моделью является математическая модель в пространстве состояния.

Это фактически запись дифференциального уравнения элемента или системы в виде системы уравнений первого порядка, т.е. в форме Коши.

Модель в пространстве состояния имеет вид

Здесь первое уравнения – уравнение состояния системы, второе – уравнение выхода.

Здесь: X– вектор размерностьюnпараметров состояния системы, это внутренние параметры объекта управления, определяющие его состояние.

U– вектор размерностьюr управляющих параметров системы,

Y- вектор размерностьюmнаблюдаемых параметров системы, это параметры объекта управления, которые измеряются с помощью датчиков и других систем контроля,

A– матрица размерностью, взаимосвязи параметров состояния,

B– матрица размеромсвязи параметров состояния с управляющими параметрами,

C– матрица размеромсвязи выходных параметров с параметрами состояния,

D- матрица размеромсвязи выходных параметров с управляющими параметрами.

Рассмотрим построение модели состояния из дифференциального уравнения системы.

Пусть система 3-го порядка описывается дифференциальным уравнением

Запишем данное уравнение относительно старшей производной

Введем переменную , обозначим

Тогда уравнение системы можно записать в виде

Обозначим

Мы получили систему трех уравнений первого порядка

Запишем данную систему уравнений в матричном виде

Обозначив ,,,,

Можно данную систему уравнений записать в матричном виде

Пусть измеряется выходная переменная . Тогда уравнение выхода будет иметь вид

. Обозначив, перепишем уравнение выхода в виде

Мы получили классическое уравнение системы в пространстве состояния

Структурная схема модели, построенная на основании матричных уравнений имеет вид

При решении технических задач различного вида и сложности при использовании данной модели будут изменяться только размеры и элементы соответствующих матриц и векторов, а структура модели и методы анализа не изменяются. Для анализа систем используется пакет анализа ControlSystemToolboxсистемыMatLab.

Примеры построения уравнений состояния рассматриваются в следующих вопросах.

Построение модели Коши двойного интегрирующего звена.

Передаточная функция двойного интегрирующего звена имеет вид:

Дифференциальное уравнение будет

Обозначим переменную и запишем уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений в форме Коши

Мы получили математическую модель двойного интегрирующего звена в форме Коши.

Построение модели Коши реального интегрирующего звена.

Передаточная функция реального интегрирующего звена имеет вид:

Дифференциальное уравнение будет

Перепишем уравнение, оставив в левой части только старшую производную,

Обозначим переменные и запишем уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений в форме Коши

Мы получили математическую модель реального интегрирующего звена в форме Коши.

Построение модели Коши апериодического звена второго порядка.

Передаточная функция реального интегрирующего звена имеет вид:

Дифференциальное уравнение будет

Перепишем уравнение, оставив в левой части только старшую производную,

Обозначим переменную и запишем уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений в форме Коши

Мы получили математическую модель реального интегрирующего звена в форме Коши.