9. Типовые модели детерминированных сигналов

1. Модели детерминированных сигналов.

Скачкообразное воздействие величиной А:x(t)=. Здесь- единичная функция Хевисайда.

Импульсное воздействие. Во временной области импульсное воздействие характеризуется амплитудой А и продолжительностью  импульса. Математически ипульс характеризуется площадью и описывается импульсивной функцией- с импульсом С. Здесь- дельта - функция Дирака.

Линейное и квадратичное воздействие и

4 Гармонические процессы - сигналы, содержащиеодну гармонику (например: синусоидальный периодический процесс.

;, Период.

5 Полигармонические процессы - периодические несинусоидальные процессыx(t)=x(t+n·T)

Такие процессы являются суммой гармоник, выявление которых производится разложением сигнала в ряд Фурье.

а) Разложение на сумму синусоид и косинусоид:

,.

б) Разложение на ряд сдвинутых по фазе синусоид:

;,

,, n=1, 2, ...

10. Характеристики случайных сигналов

Для работы со случайными процессами наиболее широко используются следующие пять характеристик:

1) математическое ожидание ;

2) дисперсия ;

3) дифференциальная и интегральная функции распределения ;

4) корреляционная функция ;

5) спектральная плотность ;

При анализе следует различать генеральную совокупностьслучайной величины, представляющую собой все возможные значения данного параметра за все время работы анализируемого процесса, и так называемуювыборку случайного процесса, представляющую собой конкретные значения (график) случайной величины, например, за текущие сутки.

Названные выше характеристики случайных процессов являютсятеоретическими характеристиками, описывающими все множество случайных процессов (генеральную совокупность). Их значения получить сложно и на практике пользуются ихоценками, полученными на основании экспериментальных выборок, являющихся частью генеральных совокупностей случайной величины. Условно говоря,оценкиявляются измеренными характеристиками случайной величины, которые, вследствие их определения только по части генеральной совокупности, отличаются от фактических.

Математическое ожидание и его оценка – среднее характеризуют уровень, вокруг которого колеблется случайная величина. Среднее значение случайной величины определяется по выражению.

Здесь - объем выборки (количество экспериментальных данных). На рис. 1 приведены два случайных процесса с различными средними значениями.

Дисперсияявляется показателем ширины коридора колебания случайной величины. Экспериментальнаяоценка дисперсии определяется по выражению . Корень квадратный из дисперсииназываетсясредним квадратическим отклонением.Знание его оценкипозволяет непосредственно определить ширину коридора, в котором с заданной вероятностью находится исследуемая случайная величина. На рис. 2 приведены два случайных процесса с одинаковыми средними значениями и различными дисперсиями.

В отличие от детерминирован-ной величины, описываемой функцией времени, например, , значение случайной величины нельзя точно предсказать. Но можно пред-сказать вероятность нахождения случайной величины в заданном коридоре. Ширина коридора, в котором находитсязначений случайной величины принимается за весь коридор колебаний исследуемого параметра.

Вероятность принятия случайной величиной значения описыва-етсядифференциальной функцией распределения Практически, вероятность показывает, какая часть значений случайной величины принимает данное значение (или находится в заданном коридоре).

При большом количестве влияющих факторов случайная величина имеет нормальный (гауссовый) закон распределения. Дифференциальная функция нормального закона распределения описывается выражением

Для описания нормального закона распределения надо знать две величины (их оценки): математическое ожидание ,дисперсию. На рис. 3 приведены дифференциальные функции нормальных случайных процессов с одинаковыми математическими ожиданиями () и различными дисперсиями ().

Дифференциальная функция нормального закона распределения (и многих других) теоретически не падает до нуля, т.к. теоретически допускается возможность, что случайная величина может принять значения в диапазоне . Например, температура воздуха в нашем регионе может теоретически изменяться от абсолютного нуля (при погасании солнца) до миллионов градусов (при превращении земли в звезду). При исследованиях допустимый диапазон изменения температуры ограничивают практическими значениями и говорят, что с вероятностьютемпература находится в пределах, например:. При увеличении ширины диапазона значение доверительной вероятности увеличивается.

Таким образом, случайная величина характеризуется двумя параметрами: шириной диапазона и доверительной вероятностью - вероятностью нахождения случайной величины внутри данного диапазона. Поэтому при анализе случайных процессов большое значение имеют функции распределения.

Ш

ирину коридора изменения случайной величины удобно выражать в среднеквадратических отклонениях, что практически сразу позволяет определить вероятность нахождения случайной величины в используемых на практике диапазонах. Для случайной величины с нормальным законом распределения в коридоренаходится 68% значений, соответственно, в коридорахинаходятся 95% и 99.6% значений случайной величины (рис. 4).

Интегральная функция распределения показывает вероятность случайной величины быть в коридоре. Практическипоказывает, какая часть случайной величины меньше или равно значению, т.е.. Значенияопределяются:.

Вероятность нахождения в коридоре (какая часть значенийxнаходится в данном коридоре) определяется по выражениюили.

Вероятности нахождения случайных величин в заданных коридорах сведены в статистические таблицы. На компьютерах в различных пакетах для их вычисления имеются специальные операторы.

На рис. 5 приведены графики трех случайных процессовx₁(t),x₂(t),x₃(t), не отличающихся своими средними значениями, дисперсиями и законами распределения. Но они отличаются скоростью изменения случайных величин во времени или, говорят, они имеют различные гармонические (спектральные) составляющие. Эти свойства случайных процессов надо учитывать при анализе технологических процессов и систем управления, т.к. сигналы с различными частотами по-разному проходят через технологические процессы и отрабатываются элементами системы (согласно частотным характеристикам).Для учета этих свойств используются две взаимосвязанные характеристики: корреляционная функция и спектральная плотность.

Корреляционная функция

описывает степень связи между значениями случайного процесса для сечений случайного процесса, сдвинутых одно относительно другого на величину . Эта связь изменяется в пределах от ±1 (+ прямая, - обратная функциональная связь) до 0 (полное отсутствие связи) и называется коэффициентом корреляции. Зависимость коэффициента корреляции от величины сдвига между этими сечениями является корреляционной функцией. Оценка корреляционной функции для различных сдвиговопределяется выражениями:

1. =0;

2. =1;

3.=2;

Отметим, что является дисперсией случайного процесса.

На рис. 6 приведены графики корреляционных функцийR_xx() данных временных рядов. Первый временной рядx₁ во времени изменяется быстро, для него корреляционная связь между сечениями быстро убывает; для второго эта связь убывает медленнее; для третьего еще медленнее. Все это проявляется во времени затухания корреляционных функций. Чем медленнее случайный процессx, тем больше время затухания корреляционной функцииt₃ >t₂ >t₁. Следовательно, время затухания корреляционной функции является характеристикой скорости изменения случайного процесса (характеризует наличие спектральных составляющих).

Спектральная плотность– это прямое преобразование Фурье от корреляционной функции.

Спектральная плотность имеет простой физический смысл. Случайный сигнал практически всегда можно представить в виде суммы нескольких компонент (рис. 7): - среднее значение;

- низкочастотная составляющая;

- среднечастотная составляющая;

- высокочастотная составляющая.

Дисперсия х равна сумме дисперсий компонент

Построим следующий график (рис. 8). По оси абсцисс отложим частоту составляющих, а по оси ординат – их дисперсию. Мы получили распределение дисперсии процессахпо частотам. Это и есть спектральная плотность. Площадь под кривой спектральной плотностиS()равна дисперсии случайного процесса. Дисперсия по определению - среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего значения. Это означает, что спектральная плотность показывает распределение мощности случайного процесса по частотам. Покажем, что квадрат физической величины отображает мощность этой величины на примере простой электрической схемы. Для этого рассмотрим мощность, выделяющуюся в электрической цепи на сопротивленииR= 1Ом.

Таким образом, мощность электрического тока пропорциональна квадрату электрической величины тока или напряжения. Следовательно, дисперсия характеризует мощность переменной составляющей случайного процесса, а спектральная плотность S() показывает, какие частотные составляющие есть в сигнале и как мощность случайного процесса распределена по частотам.

Корреляционные функции и спектральные плотности имеют широкое применение, т.к. они позволяют проанализировать прохождение случайных сигналов через динамические звенья. Так при подаче на вход сигнала, равного автокорреляционной функции входного случайного процесса, на выходе будет сигнал, равный взаимокорреляционной функции входного и выходного случайных процессов. А спектральные плотности выходного и входного случайных процессов связаны квадратом модуля частотной характеристики динамического звена.

Введение в анализ систем управления. Дифференциальное уравнение - основная модель элементов и систем управления

Для исследования системы необходимо знать, как сигналы преобразуются элементами системы. Данные закономерности проявляются в процессе работы системы при подаче входных воздействий. Однако часто исследования реальной системы невозможно или экономически нецелесообразно. Поэтому анализ работы систем производят на математических моделях, которые описывают закономерности работы системы.

Анализ производится в следующей последовательности.

1. Задается модель сигналов (задающее, возмущающее воздействия).

2. Составляются уравнения для всех элементов системы.

3. Составляются уравнения для всей системы.

4. Исследуется устойчивость работы системы.

5. Исследуются качественные показатели работы системы при входных сигналах, соответствующих работе системы в реальных условиях.

При изучении закономерностей процессов часто не удается непосредственно найти законы, связывающие выходные переменные с входными, но возможно установить зависимости между переменными, их производными или дифференциалами. В результате математическое описание элементов системы осуществляется обычно в виде дифференциальных уравнений. Это связано также со свойством элементов системы накапливать и отдавать энергию в различных условиях работы. В общем виде линейное дифференциальное уравнениеn-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Оно описывает связь между входным и выходнымсигналами и их производными.

Решение дифференциального уравнения ищется в виде суммы свободной и вынужденной составляющих. Свободная составляющая описывает движение системы при отсутствии входного сигнала (правая часть уравнения равна нулю) и ненулевых начальных условиях, например,. Вторая составляющаяописывает движение системы при наличии входного сигналаи нулевых начальных условиях. На рис. а показано решение дифференциального уравнения при ступенчатом изменении входного сигнала и нулевых начальных условиях. На рис. б показано изменение выходного сигналапри ступенчатом изменении входного сигнала и начальном значении выходного сигнала. На рис. в данное изменение выходного сигнала представлено в виде суммы свободной составляющей, падающей отy0 до 0 и вынужденной составляющей, изменяющейся от 0 до установившегося значения.

Алгоритм решения дифференциального уравнения:

а) Отыскание общего решения однородного уравнения (свободной составляющей) при правой части уравнения, равной нулю.

б) Получение общего решения неоднородного уравнения.

в) Отыскание частного решения неоднородного уравнения вынужденной составляющей.

г) Получение частного решения уравнения.

Рассмотрим несколько примеров описания элементов систем дифференциальными уравнениями.

12. Математические модели простых электрических RC-цепей. Для получения требуемых динамических характеристик систем управления часто дополнительно к основным элементам системы, обеспечивающим ее функционирование, используются различные корректирующие звенья. Простейшим их видом являются электрические цепи на основесопротивлений, емкостей и индуктивностей. Рассмотрим модели простейших-цепей.

Корректирующее звено 1.Схема корректирующего звена представлена на рис. Построим математическую модель элемента в виде дифференциального уравнения, описывающего изменение напряжения на выходепри изменении входного напряжения

Запишем уравнение 2-го закона Кирхгофа для замкнутого контура:

Значение тока в цепи выразим через напряжение на конденсаторе .

Тогда

Перепишем выражение в стандартном виде – выходная переменная в левой части уравнения, входная – в правой, коэффициент при выходной переменной равен 1:

, обозначим

Мы получили математическую модель, описывающую зависимость выходного напряжения от входного. Она имеет вид дифференциального уравнения первого порядка.

Корректирующее звено 2(схема на рис. ). Согласно 2-му уравнению Кирхгофа

Продифференцируем уравнение:

Учитывая,

Запишем

Перепишем уравнение в типовой форме. Получим дифференциальное уравнение, описывающее зависимость тока от напряжения входного сигнала

13. Математическая модель датчика температуры. Пусть датчик температуры из среды с температуройпоместили в среду с температурой. Построим уравнение, описывающее изменение температуры датчика. Составим уравнение теплового баланса, компоненты которого равны.

Количество тепла, запасенного в датчике массой mи теплоемкостьюc, равно:. Изменение количества тепла в датчике за элементарное времяdtравно:.

Передача тепла от среды датчику за время dtравно при поверхности теплообменаFи коэффициенте теплопередаче равно:.

Уравнение теплового баланса

или

В стандартной форме уравнение будет

Обозначим , тогда математическая модель будет иметь вид типового уравнения первого порядка

14. Математическая модель механической колебательной системы.На механическую систему, содержащую пружину жесткостьюk, демпфер с коэффициентом вязкостиb, тело массойM(рис. ) действует силаf(t). Необходимо построить математическую модель, описывающую движение системыx(t) во времени. Составим уравнение движения на основе второго закона Ньютона.

Момент инерции системы равен: .

Сила упругости пружины:

Сила сопротивления движению демпфера: .

Уравнение равновесия сил Ньютона

Мы получили дифференциальное уравнение второго порядка.

15. Математическая модель упругого узла подачи резца.На рис. приведена схема обработки вала 1 на токарном станке резцом 3. Построим математическую модель жесткости механической системы резец – резцедержатель при продольной подаче. Систему патрон-деталь считаем абсолютно жесткой. При подаче резцедержателя на величинуxрежущая кромка подается на величинуy. Ошибка подачи режущей кромки, вследствие деформации резца (схема в правой части рисунка), равна

Сила резания равна продольной силе, приложенной к резцу, которую при жесткости системы резцедержатель-резец kможно определить по выражению:

Сила резания пропорциональна скорости резания .

Момент инерции при массе подвижной части mравен.

Уравнение движения на основании второго закона Ньютона

Дифференциальное уравнение механической системы имеет вид

Методы решения дифференциальных уравнений:

Кратко напомним следующие методы решения дифференциальных уравнений.

1. Классический метод.

2. Метод Коши.

3. Метод преобразования Лапласа.

4. Численный метод.

Классический метод решения дифференциальных уравнений

Решение линейного однородного дифференциального уравненияс постоянными коэффициентами.

Т.к. входной сигнал равен 0 (правая часть уравнения равно 0), то решение имеет смысл при ненулевых начальных условиях

Решение описывает переход системы из начального ненулевого состояния в нулевое состояние. Решение зависит от вида корней характеристического уравнения

Возможны следующие четыре случая.

1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные (нет кратных корней). Решение записывается в виде

2. Все корни вещественные, но имеется корень кратности k

3. Имеется одна пара комплексных сопряженных корней

4. Имеются кратные комплексные корни

Примеры. Решить уравнение 1.

1. Запишем характеристическое уравнение .

2. Найдем корни уравнения

3. Запишем свободную составляющую решения дифференциального уравнения

Решить уравнение 2.

1. Запишем характеристическое уравнение .

2. Найдем корни уравнения

3. Запишем свободную составляющую решения дифференциального уравнения

Решить уравнение 3. при начальных условиях

1. Запишем характеристическое уравнение .

2. Найдем корни уравнения

3. Запишем свободную составляющую решения дифференциального уравнения

4. Для нахождения значений используем начальные условия.

1НУ. При

2НУ. Найдем 1-ю производную от решения

При

Полученное частное решение

Это решение единственное, оно определяется начальными условиями нахождения выходной переменной, поэтому решение называется частным.

Решение линейного неоднородного дифференциального уравненияс постоянными коэффициентами. Для нахождения полного решения неоднородного дифференциального уравнения к найденным выше свободным составляющим, являющихся решениями однородных уравнений необходимо найти вынужденные составляющие, определяемые видом правой части неоднородного уравнения. Для некоторых видов законов изменения входной переменной частное решение можно указать по виду правой части дифференциального уравнения. В более общих случаях решение ищется методом квадратур [].

1 случай. Правая часть имеет вид

где: - многочлен, описывающий изменение входной переменной во времени.

Данный случай описывает сигналы:

Постоянный входной сигнал приk=0, P(t)=x₀

Линейно изменяющийся входной сигнал и др.

В данном случае есть функция, подобная исходной, но со своими коэффициентами.

2 случай. Правая часть имеет вид

3 случай. Правая часть является суммой

Для случаев 2, 3 выходной сигнал также есть функция, подобная виду входного сигнала.

4 случай. Если kдля случая 1 илидля случая 2 являются корнями характеристического уравнения системы, то к данному решению добавляется множитель

Рассмотрим пример1. Найти решение дифференциального уравнения

1. Запишем характеристическое уравнение .

2. Найдем корни уравнения

3. Запишем свободную составляющую решения дифференциального уравнения

4. Находим вынужденное решение. Входной сигнал относится к случаю 1.

- полином 2-й степени.k=0и не является корнем характеристического уравнения.

Ищем решение в виде полинома 2-й степени

Находим подставляем их в исходное уравнение

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t

Вынужденная составляющая

Общее решение

Рассмотрим пример 2.

при нулевых начальных условиях.

1. 

2. 

3. 

4. L(t) e ^kt, k=1p_i.

y(t)=M(t)e^kt = (At²+Bt+C)e^t

=

Преобразуем и приравняем к правой части нашего исходного уравнения.

A=1/2, B=3, C=4.

5. 

6. Собственные решения (t=0).



 С1=1, С2=-5.

7. 

 С₁=1, С₂=-5.

8. 

16. Решение дифференциального уравнения 1-го порядка классическим методом

Решение дифференциального уравнения заключается в нахождении зависимости изменения во времени выходной переменной при следующих исходных данных:

• дифференциальное уравнение с параметрами k,Т;

• начальное значение выходной переменной ;

• закон изменения во времени входной переменной .

Найдем решение дифференциального уравнения при постоянном значении входного сигнала.

Решение ищем в виде суммы свободной и вынужденной составляющих

5. Находим свободную составляющую решения:

- запишем характеристическое уравнение ;

- найдем корень уравнения ;

- запишем свободную составляющую решения дифференциального уравнения:

.

6. Находим вынужденное решение. Входной сигнал относится к полиномам. Поэтому ищем решение в виде такого же полинома

.

Для нахождения значения В подставляем решение в исходное уравнение

,, тогда.

Вынужденная составляющая .

7. Общее решение

8. Используя начальные условия, найдем постоянную :

при

, отсюда

9. Решение уравнения при постоянном входном сигнале

.

Первый элемент выражения отражает влияние начальных условий и показывает, что начальное значение уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной времени Т.

Второй элемент выражения отражает влияние входного сигнала при нулевых начальных условиях и показывает, что при подаче на вход звена первого порядка постоянного сигнала выходной сигнал по экспоненциальному закону с постоянной времени Т выходит на значение .

Время падения первого элемента и выхода второго элемента на расчетное значение с точностью 5% (вход в 5% трубку от расчетного значения) называется временем переходного процесса и составляет .