Лекция 2 План лекции

1. Функции комплексного переменного.

2. Дифференцируемость и аналитичность.

3. Условия Коши-Римана.

2. Понятие и функции комплексного переменного.

Рассмотрим две комплексные плоскости «W» и «z» (; ).

Говорят, что на множестве Е плоскости «z» задана функция (W=f(z)), если указано правило, по которому каждой точке z из Е ставится в соответствие одна или несколько точек плоскости «W».

Если точка z пробегает значения множества Е, то точка W будет пробегать значения некоторого множества F.

Множество Е – область определения функции f(z), а множество F – область значения функции f(z).

Рис. 5

Если каждой точке z множества Е ставится в соответствие только одна точка F, то такая функция называется однозначной функцией, иначе многозначной.

Задание функции комплексного переменного эквивалентно заданию двух функций вещественного переменного.

.

3. Дифференцируемость и аналитичность.

Пусть в некоторой окрестности точки задана однозначная функция. Говорят, что существует предел функцииf(z) при (), если существуют следующие пределы функции вещественного переменного:,.

При этом число называется пределом функцииf(z) при , т.е.=.

В соответствии с определением предел не зависит от того каким способом z стремится к . Поскольку предел функции комплексного переменного сводится к двум пределам вещественного переменного, то сохраняются правила предельного перехода:

,

,

.

Функция f(z) называется непрерывной в точке ,если

Функция f(z) называется непрерывной в точке ,если для любого .>0 найдется такое (), что из условия следует, что .

Функция f(z) называется дифференцируемой в точке ,если существует предел .

Рассмотрим условия, при которых функция f(z) является дифференцируемой. Пусть функция однозначно определена в окрестности точкиz=x+iy.

Теорема 1. Для того чтобы функция была определена в точке z=x+iy необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. в этой точке должны быть дифференцируемы функции U(x,y), V(x,y);

2. должны выполнятся условия Коши-Римана:

Докажем необходимость. Предположим, что функция f(z) имеет точке z производную, т.е. существует предел: , гдеh=s+it. Воспользуемся независимостью предела от способа стремления точки z+h к точке z (рис. 6). Положим h=s.

Рис. 6

По определению:

.

Примем, что точка z+h стремится к точке z вдоль прямой параллельной мнимой оси (h=it)(рис. 7).

Имеем:

рис.7

, .

Необходимость доказана, достаточность примем без доказательства.

С учетом условия Коши –Римана можно записать:

.

Поскольку для функций комплексного переменного сохраняются общие правила предельного перехода, то сохраняют свою силу и общие правила дифференцирования:

предельного перехода:

,

,

.

Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке области D.

Функция f(z) называется аналитической в точке а, если найдется такая окрестность точки а:, в которой она дифференцируема.

Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке области D.