- •Спецглавы математики
- •Лекция 1.............................................................................................................4
- •Аннотация
- •Лекция 1 План лекции
- •Функции комплексного переменного.
- •1.Область на комплексной плоскости.
- •Лекция 2 План лекции
- •2. Понятие и функции комплексного переменного.
- •3. Дифференцируемость и аналитичность.
- •Лекция 3 План лекции
- •Элементарные функции комплексного переменного.
- •3. Логарифмическая функция.
- •Пусть , а, тогда,
- •4.Тригонометрические функции.
- •5. Гиперболические функции.
- •6. Обратные тригонометрические функции.
- •Контурным интегралом функции комплексногопеременного называется, если существует, не зависит от способа деления контура с точкамии от выбора точекна дуге.
- •Лекция 7 План лекции
- •Представление аналитических функций рядами.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 10 План лекции
- •Некоторые специальные функции.
- •1. Единичная ступенчатая функция.
- •2. Дельта функция.
- •Лекция 11 План лекции
- •Обобщенное преобразование фурье. Преобразование лапласа.
- •Свойства преобразований лапласа.
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Применение преобразования лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •Обратное преобразование лапласа рациональной алгебраической дроби.
- •Изображение импульса произвольной формы.
- •Разностные уравнения.
- •Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 16
- •Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование.
- •Лекция 17
- •Связь между обычным преобразованием лапласа и d и z- преобразованиями. Преобразование.
- •Свойства z – преобразования.
Лекция 16
План лекции
Понятие о D и Z - преобразованиях.
Область применения D и Z - преобразований.
Обратные D и Z - преобразования.
Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование.
В прикладных исследованиях, связанных с использованием решетчатых функций, широко применяется дискретное преобразование Лапласа (Д – преобразование) и Z – преобразование. По аналогии с обычным преобразованием Лапласа дискретное задается в виде
где (1)
Символически Д – преобразование записывается в виде
Для смещенных решетчатых функций
(2)
где - смещение.
Z – преобразование получается из Д – преобразования подстановкой и задается соотношением
(3)
Для смещенной функции
Функция называется оригиналом, если
1)
2) существует показатель роста, т. е. найдутся такие и, что
(4)
Наименьшее из чисел (или предел, к которому стремится наименьшее число), для которого справедливо неравенство (4), называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается
Теорема.
Если функция является оригиналом, то изображениеопределено в областиRe p > и является в этой области аналитической функцией.
Покажем, что при Re p > ряд (1) абсолютно сходится. Имеем
т. к. указанная сумма представляет собой сумму членов убывающей геометрической прогрессии с показателем Известно, что такая прогрессия сходится. Величинуможно взять сколь угодно близкой величине, т. е. первая часть теоремы доказана.
Вторую часть теоремы примем без доказательств.
Изображение является периодической функцией с мнимым периодом
При изучении изображения нет смысла рассматривать его на всей комплексной плоскости, достаточно ограничиться изучением в любой полосе ширинойОбычно на комплексной плоскости используется полоса,которая называется основной. Т. о. Можно считать, что изображенияопределено в полу полосе
и является в этой полу полосе аналитической функцией.
Re p
Im p
π/T
-π/T
Re p
Im p
σa
Найдем область определения и аналитичности функции F(z), положив . Покажем, что полу полосаплоскостиp преобразованием переводится в область на плоскостиz: .
Действительно, отрезок , ограничивающий полу полосу на плоскостиp, переводится на плоскости z в окрестность: .
Обозначим через линию, в которую преобразованиепереводит отрезок. Тогда
т. о.
окрестность .
Т. о. Z – преобразование F(z) определено в области и является в этой области аналитической функцией.
Обратное Д – преобразование позволяет по изображению восстановить решетчатую функцию
Im p
π/T
-π/T
σa
Re p
Докажем справедливость равенства.
Получим из равенства (5) формулу для обратного Z – преобразования. Воспользуемся подстановкой . Рассмотренным выше способом легко установить, что отрезокс помощью преобразованияпереводится на плоскостиZ в окрестность
.
Тогда из (5) следует
(6)
Равенство (6) задает обратное Z – преобразование, т. е. позволяет по функции F(z) восстановить решетчатую функцию f(nT).
Т. к. , то все особые точки функцииF(z) и, следовательно, функции лежат внутри окрестности
Из (6) следует, что
Вычеты берутся по всем особым точкам.