Лекция 11 План лекции

1. Класс функций преобразуемых по Фурье.

2. Одностороннее преобразование Фурье.

3. Обобщенное преобразование Фурье.

4. Абсцисса абсолютной сходимости.

5. Преобразование Лапласа.

6. Основные теоремы преобразования Лапласа.

Обобщенное преобразование фурье. Преобразование лапласа.

Выпишем прямое и обратное преобразование Фурье. (1)

(2)

В соответствии с приведенной теоремой функция f(t) преобразуется по Фурье если:

1. f(t) – кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция.

2. f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, т. е.

.

Большинство элементарных функций не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости и, следовательно, не преобразуются по Фурье. Однако с помощью простых преобразований можно обобщить преобразование Фурье на многие функции. Поступают так. Функцию f(t) умножают на , где с подбирают так, чтобы обеспечить абсолютную интегрируемость. Запишем условие абсолютной интегрируемости для функции:

Наименьшее из чисел с или предел к которому стремится с, для которых

- существует (конечен) называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается .

Запишем , (3)

Равенство (3) задает одностороннее преобразование Фурье. В соответствии с (2) обратное одностороннее преобразование Фурье задается равенством:

(4)

При переходе от преобразования Фурье к одностороннему преобразованию Фурье уменьшается интервал определения функции f(t), которая теперь определена в области . Такое усечение интервала определения с физической точки зрения оправдывается тем, что в технических системах все процессы имеют начало, момент начала которого можно совмести с точкой. Объединим в одностороннем преобразовании (3) множительс ядром преобразования:(5)

Равенство (5) задает обобщенное преобразование Фурье. Оно позволяет по вещественной функции f(t) построить комплексную функцию F(с+iw). Найдем преобразование обратное к преобразованию Фурье. Перепишем (4) в виде:

(6)

Умножим (6) на :

,(7) – позволяет по комплексной функции F(c+iw) восстановить вещественную функцию f(t) и называется обратным обобщенным преобразованием Фурье.

Введем комплексную переменную s=c+iw, тогда равенства (5) и (7) принимают вид:

(8)

(9)

Равенства (8) и (9) задают соответственно прямое и обратное преобразование Лапласа. В равенстве (9) пределы интегрирования показывают, что интегрирование ведется вдоль прямой Res=c.

Рис.1

В преобразовании Лапласа функцию f(t) называют оригиналом, а функцию F(s) – изображением.

Символически преобразование Лапласа записывается в виде :

Для обратного преобразования используется соотношение:

Преобразование Лапласа позволяет перейти от оригинала к изображению. Переход от оригинала к изображению позволяет упростить ряд математических операций, в том числе решение линейных дифференциальных уравнений.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.

Функция называется оригиналом, если:

1) ;

2) - кусочно-гладкая кусочно-непрерывная функция;

3) существует показатель роста, т. е. найдутся такие числа и, что. (*)

Наименьшее из чисел или предел, к которому стремится наименьшее число, для которого справедливо равенство (*), называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается.

В дальнейшем под изображением будем понимать:

.

Такое уточнение изображения никак не сказывается на выполнении прямого и обратного преобразования Лапласа. Оно проявляет себя лишь в некоторых свойствах преобразования Лапласа.

Теорема 1.

Если является оригиналом, то изображениеопределено в областии является в этой области аналитической функцией.

Первая часть теоремы, утверждающая существование изображения в области , непосредственно следует из обобщенного преобразования Фурье. Докажем, что изображениев этой области является аналитической функцией.

продифференцируем по s

.

Переходя к дифференцированию под знаком интеграла, получим

.

Покажем, что интеграл существует. Оценим

Т. о. получили, что интеграл существует, следовательно, производная существует при можно взять сколь угодно близким числу. Отсюда следует, чтосуществует в областиТеорема доказана.

Теорема 2(основная теорема об обратном преобразовании Лапласа).

Если функция является оригиналом, а- изображение функции, то в каждой точкеtнепрерывности функции

Доказательство этой теоремы следует из обобщенного преобразования Фурье. Она уточняет, что обратное преобразование Лапласа сходится к только в точках непрерывности функции. В точках разрываобратное преобразование Лапласа сходится к среднему значению.

ЛЕКЦИЯ 12

План лекции

1. Изображение некоторых элементарных функций.

2. Линейность преобразования Фурье.

3. Теоремы об изображении производной и интеграла.

4. Теоремы об изменении масштаба, смещения в комплексной области.

ИЗОБРАЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1.Найдем преобразование Лапласа функции 1(t): L[1(t)].

L[1(t)] = при Res > 0 ()

, при с >0

L[1(t)] = , приRes > 0 .

2. Найдем преобразование Лапласа функции sint: L[sint].

L[sint] =

,

при с > 0,> 0 .

Приведем таблицу соотношений оригинал-изображение.

№	f(t)	F(s)	a
1	1(t)	1/s	0
2	e-α t	1/(s+α)	-α
3	eα t	1/(s-α)	α
4	sint	β/(s2+β2)	0
5	cost	s/(s2+β2)	0
6	t	1/s2	0
7	tn	n!/sn+1	0