72. Некоторые интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях.

а) Дифференциальные биномы

(a+bxn)pxm, когда не является целой ни одна из трех дробей p, , +p.

б) Интеграл .

в) Интегралы вида , где - многочлен степени 3, 4 в ряде случаев не выражается через элементарные функции (эллиптические интегралы ). В частности, следующие интегралы не являются элементарными функциями

, , 0<k<1;

или ( после замены )

, .

74. Интегральные суммы. Определение определенного интеграла. Интегральные суммы.

Для каждого разбиения отрезка [a;b] точками x₁=a,x₂,x₃,…,x_n-1,x_n=b в каждой части [x_k;x_k+1] выбирается произвольная точка ck, вычисляется значение f(c_k) и составляется следующая сумма:

Суммы вида Σ_n называют интегральными суммами для функции f(x) на отрезке [a;b].

79. Геометрическое применение определенного интеграла.

Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах.

Пусть на плоскости задана область, ограниченная снизу кривой  , заданной в декартовых координатах, сверху – кривой  , слева – прямой  (ее может и не быть, если  ), справа – прямой  . Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле  . Здесь не нужно заботиться, какая из функций и где положительная, а какая отрицательная. Если, например, , то формула сама прибавит нужную площадь. Более сложные области всегда можно разбить так, чтобы выполнялись указанные условия.

Пусть на отрезке уравнением  задана плоская кривая. Ее длина вычисляется по формуле  

Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых.

Если область на плоскости снизу ограничена кривой, заданной параметрически, то есть  , при этом  , а сверху – кривой   . Тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем по формуле . Эта формула совпадает с формулой вычисления площади в декартовых координатах, если учесть, что  .

Пусть кривая на плоскости задана параметрически   . Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле  .

Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах.

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах , то площадь этой области вычисляем по формуле  . Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования  . Здесь нужно понимать, что кривая  определена только, если . Поскольку в формуле присутствует , то она учтет и не существующую площадь, когда  . Решив уравнение , найдем пределы интегрирования.

Если кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  , то ее длина вычисляется по формуле . Пределы интегрирования определяются из тех же соображений, что и при вычислении площади.

80. Понятие о несобственных интегралах.

До сих пор предполагалось, что, во-первых, областью интегрирования для определенного интеграла служит конечный отрезок , а во-вторых, что подынтегральная функция интегрируема на этом отрезке. Отбрасывая эти предположения, приходим к понятию несобственных интегралов двух типов: по бесконечному промежутку и от неограниченной функции. Как противопоставление несобственным интегралам, обычные определённые интегралы, которые вычисляются от интегрируемых (ограниченных) функций и по конечным отрезкам, часто называют собственными интегралами.

Определение:

Пусть f(x) определена на множестве от и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.

2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена на (a,b] и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.