Тема 2. Задача инвестирования.

Предположим, что в начале каждого из следующих n лет необходимо сделать инвестиции P1, P2,…, Pn соответственно. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент r1, а второй - r2. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы.

Премиальные меняются от года к году, и для і-ого года равны qi1 и qi2 в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются к концу года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находится там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиции на следующие n лет.

Элементы модели динамического программирования следующие:

Этап і представляется порядковым номером года і, і=1,2,...n

Вариантами решения на і-м этапе (для і-ого года) являются суммы li и инвестиций в первый и второй банк соответственно.

Состоянием xi на і-м этапе является сумма денег на начало і-ого года, которые могут быть инвестированы.

Заметим, что по определению =xi-li. Следовательно,

где і=2,3,…n, x1=P1. Сумма денег xi, которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении (і-1)-го года.

Пусть fi(xi)- оптимальная сумма инвестиций для интервала от і-го до n-го года при условии, что в начале і-го года имеется денежная сумма xi. Далее обозначим через si накопленную сумму к концу n-го года при условии, что li и (xi-li)-объемы инвестиций на протяжении і-го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая , і=1,2, мы можем сформулировать задачу в следующем виде.

Максимизировать z=s1+s2+…+sn, где

Так как премиальные за n-й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для sn добавлены qn1 и qn2.

Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид

где xi+1 выражается через xi в соответствии с приведенной выше формулой, а fn+1(xn+1)=0.

Тема 3. Замена оборудования.

B начале планового периода из N лет имеется оборудование возраста t лет. Для каждого года планового периода известны стоимость r(t) произведенной с использованием имеющегося оборудования продукции и затраты v(t), связанные с его эксплуатацией. Эти характеристики зависят от возраста t оборудования. Известны также остаточная стоимость s оборудования, не зависящая от его возраста, и цена р единицы нового оборудования, не меняющаяся в рассматриваемом плановом периоде. Требуется разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, т. е. в начале каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s и купить новое по цене р, с тем чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.

В качестве физической системы S в описанной ситуации выступает оборудование, состояние которого с течением времени изменяется. В качестве шага процесса принятия решения здесь естественно считать год планового периода. Таким образом, мы имеем дело с пошаговым процессом.

Состояние оборудования (состояние системы S) будет полностью характеризоваться его возрастом t. Судя по условию задачи, параметр t может принимать значения 0, 1, 2, ...., t—1, t. Значение t=0 соответствует новому оборудованию (оборудованию «нулевого возраста»).

При произвольном i < N основное функциональное уравнение Беллмана применительно к рассматриваемой задаче запишется в виде :

Fi (Xi-1, Ui) = max (Zi (XHi, Ui) + Fi+1 (Xi)), где Ui

r (XHi) - U(XHi) – сохранение,

Zi(XHi, Ui) =

S – p + r (0) – v (0) - замена.

Здесь:

Xi-1 – множество состояний системы (множество возрастов оборудования) в начале i – того года;

XHi - множество состояний системы (множество возрастов оборудования) сразу после выбора управления в i –ом году. В случае сохранения его возраст не изменяется, в случае замены возраст оборудования принимается равным нулю. К концу года оборудования стареет на 1 год;

Xi – множество состояний системы в конце i-ого года;

Zi - прибыль в i –ом году от использования оборудования;

Fi (Xi-1, Ui) – условно-оптимальная прибыль от использования оборудования в период с i-ого по N-ый год .

Пример. Разработать оптимальную политику по критерию прибыли на ближайшие четыре года в отношении оборудования не старше шести лет. Для каждого года планового периода известны стоимость r(t) продукции, производимой с использованием этого оборудования и эксплуатационные расходы v{t), заданные в таблице 1. Известны также остаточная стоимость s, равная 4 и не зависящая от возраста оборудования, и цена p нового оборудования, равная 13 и не меняющаяся в плановом периоде.

Возраст оборудования t	0	1	2	3	4	5	6
Стоимость произведенной продукции r(t)	27	26	26	25	24	23	21
Затраты v(t)	15	15	16	16	16	17	19

Решение:

Условная оптимизация:

4-й год.

Функциональное уравнение при i = 4 принимает вид:

F4 (X3, U4) = max Z4 (XH4,U4), где

U4

r(XH4) – v (XH4) – сохранение,

Z4 (XH4,U4)=

4 – 13 + 27 – 15 = 3 - замена.

Множество X3 характеризует состояние оборудования перед четвертым годом и состоит из элементов 1, 2, ...,6. Множество ХH4 состояний оборудования после выбора управления в начале четвертого года состоит из элементов 0, 1, 2, ..., 6. Для каждого из них найдем прибыль Z4.

Если возраст оборудования 1 год, то, пользуясь равенством и таблицей 1, находим при первом («сохранение») и втором («замена») управлениях соответствующие величины 11 и 3 прибыли Z4:

r(1)-U(1) = 26 –15 =11 11 – сохранение,

Z4(1,U4)= ==

3 3 – замена.

Из этого равенства очевидно, что на четвертом году оборудование целесообразно сохранить, так как при этом прибыль будет больше, чем при замене (11>3).

Результаты сведены в таблицу 2.

Табл. 2

Возраст оборудования в начале 4-ого года x3	Принятое решение u4	Возраст оборудования после принятия решения x4н	Прибыль в 4-м году	Условно-оптимальная прибыль за 4-й год
1	Сохранение замена	1 0	11 3	11 -
2	Сохранение замена	2 0	10 3	10 -
3	Сохранение замена	3 0	9 3	9 -
4	Сохранение замена	4 0	8 3	8 -
5	Сохранение замена	5 0	6 3	6 -
6	Сохранение замена	6 0	2 3	- 3

3-й год.

Функциональные уравнения при i = 3 принимают вид:

F3 (X2,U3) = max (Z3 (Xн3,U3) + F4(X3)),

U3

r(Xн3) – v (Xн3) – cохранение,

Z3(Xн3,U3)=

3 - замена.

Результаты сведены в таблицу 3.

x2	Принятое решение u3	x3н	Z3	X3	F4	Z3+F4	F3
1	Сохранение замена	1 0	11 3	2 1	10 11	21 14	21 -
2	Сохранение замена	2 0	10 3	3 1	9 11	19 14	19 -
3	Сохранение замена	3 0	9 3	4 1	8 11	17 14	17 -
4	Сохранение замена	4 0	8 3	5 1	6 11	14 14	14 -
5	Сохранение замена	5 0	6 3	6 1	3 11	9 14	- 14
6	Сохранение замена	6 0	2 3	- 1	- 11	-14	- 14

2-й год.

Функциональное уравнение при i = 2 принимают вид:

F2 (X1, U2) = max (Z2 (Xн2,U2) + F3(X2)), где

U2

r(Xн2)-v (Xн2) – сохранение,

Z2(Xн2,U2) =

3 - замена.

Результаты сведены в таблицу 4.

Табл. 4

X1	Принятое решение u2	X2н	Z2	X2	F3	Z2+F3	F2
1	Сохранение замена	1 0	11 3	2 1	19 21	30 24	30
2	Сохранение замена	2 0	10 3	3 1	17 21	27 24	27
3	Сохранение замена	3 0	9 3	4 1	14 21	23 24	24
4	Сохранение замена	4 0	8 3	5 1	14 21	22 24	24
5	Сохранение замена	5 0	6 3	6 1	14 21	20 24	24
6	Сохранение замена	6 0	2 3	- 1	- 21	- 24	24

1-й год

Функциональное уравнение при i = 1 принимает вид:

F1 (X0,U1) = max (Z1 (Xн1,U1) + F2(X1)), где

U1

r(Xн1)-v (Xн1) – cохранение,

Z1 (Xн1,U1) =

3 - замена.

Результаты сведены в таблицу 5.

Табл. 5

X0	Принятое решение u1	X1н	Z1	X1	F2	Z1+F2	F1
1	Сохранение замена	1 0	11 3	2 1	27 30	38 33	38
2	Сохранение замена	2 0	10 3	3 1	24 30	34 33	34
3	Сохранение замена	3 0	9 3	4 1	24 30	33 33	33
4	Сохранение замена	4 0	8 3	5 1	24 30	32 33	33
5	Сохранение замена	5 0	6 3	6 1	24 30	30 33	33
6	Сохранение замена	6 0	2 3	- 1	- 30	- 33	33

Процедура условной оптимизации завершена. При этом в таблице 2 содержатся условно-оптимальные управления только для четвертого года, в таблице 3 - для двухлетнего периода из третьего и четвертого годов, в таблице 4 - для трехлетнего периода из второго, третьего и четвертого годов, в таблице 5 - для всего четырехлетнего периода с первого по четвертый год.

По этим таблицам в процессе безусловной оптимизации можно сформировать оптимальную политику для оборудования любого возраста не старше шести лет в течение четырехлетнего периода.

Предположим, что оптимальную политику на ближайшие четыре года необходимо разработать в отношении оборудования двухлетнего возраста.

По строке, соответствующей элементу 2 столбца Х0 таблицы 5 находим, что при оптимальной политике прибыль от использования интересующего нас оборудования составит 34 ден. ед. (см. столбец F1) при условии, что в первом году планового периода оборудование будет сохранено (см. столбец U1).

Переходя к таблице 4 и помня, что за год оборудование «постареет» на год и ко второму году станет трехлетним, в строке, соответствующей элементу 3 столбца X1 обнаруживаем элемент «замена», что говорит о необходимости замены оборудования на втором году планового периода.

По прошествии года новое оборудование (нулевого возраста) достигнет годовалого возраста. Обращаясь к строке, соответствующей элементу 1 столбца X2 таблицы 3, устанавливаем, что на третьем году планового периода оборудование следует сохранить (см. столбец U3).

К началу четвертого года в нашем распоряжении будет оборудование двухлетнего возраста. По таблице 2 (см. строку, соответствующую элементу 2 столбца Х3) заключаем, что и на четвертом году оборудование надлежит сохранять (см. столбец U4).

Итак, оптимальная политика на ближайшие четыре года по отношению к оборудованию двухлетнего возраста предполагает, что на первом году оно сохраняется, на втором — заменяется новым и это оборудование сохраняется в оставшиеся два года. При такой политике прибыль в плановом периоде максимизируется и составляет 34 ден. ед. Результат решения примера можно записать в виде следующей цепочки: