- •Тема 1. Классификация моделей.
- •Тема 1. Классификация моделей.
- •Основные признаки классификации моделей.
- •Область использования.
- •Учет в модели временного фактора.
- •Способ представления модели.
- •Тема 2. Классификация языков компьютерного моделирования.
- •Тема 3. Этапы и цели компьютерного математического моделирования.
- •Раздел 1. Задачи линейного программирования.
- •Тема 1. Математическое программирование. Общий вид задач линейного программирования.
- •Формулировка задачи.
- •Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •Найти минимальное значение линейной функции
- •Тема 2. Графический метод решения задач линейного программирования.
- •Примеры задач, решаемых графическим методом.
- •Обобщение графического метода решения задач линейного программирования.
- •Тема 3. Симплекс - метод.
- •Каноническая задача лп на максимум.
- •Вспомогательная задача лп.
- •Алгоритм метода искусственного базиса
- •Вспомогательная задача лп.
- •Алгоритм метода искусственного базиса.
- •Тема 4. Транспортная задача.
- •4.2 Составление опорного плана.
- •4.3 Метод потенциалов.
- •Раздел 2. Теория графов.
- •Тема 1. Основные понятия теории графов.
- •Элементы множества V называются вершинами графа g (или узлами), элементы множества u-его ребрами. Вершины и ребра графа называют также его элементами и вместо VV и u u пишут Vg и ug.
- •1.2 Операции над графами.
- •1.3.Связность графов.
- •1.4 Эйлеровы графы.
- •1.5 Гамильтоновы графы.
- •Тема 2. Поиск пути в графе.
- •2.2 Путь минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами (алгоритм Дейкстры).
- •2.3 .Путь минимальной суммарной длины во взвешенном графе с произвольными весами для всех пар вершин (алгоритм Флойда).
- •2.4 Путь с минимальным количеством промежуточных вершин (волновой алгоритм).
- •2.5 Нахождение k путей минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами (алгоритм Йена).
- •Тема 3. Задачи о минимальном остове.
- •3.1 Деревья.
- •3.1 Построение минимального остовного дерева (алгоритм Краскала).
- •3.1 Деревья.
- •3.1 .Построение минимального остовного дерева (алгоритм Краскала).
- •Раздел 3. Динамическое программирование.
- •Тема 1. Метод динамического программирования.
- •1.2 Идеи метода динамического программирования
- •1.3 Выбор состава оборудования для технологической линии.
- •Исходные данные для примера
- •Тема 2. Задача инвестирования.
- •Тема 3. Замена оборудования.
- •Тема 4. Задача о загрузке.
- •4.2 Рекуррентные соотношения для процедур прямой и обратной прогонки.
- •4.3 Решение задачи о загрузке.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания (смо). (8 часов).
- •Тема 1. Основные понятия теории массового обслуживания.
- •Тема 2. Простейшие смо и нахождение их параметров.
- •Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:
- •2. Одноканальная смо с неограниченной очередью
- •3. Одноканальная смо с неограниченной очередью, простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания
- •4. Одноканальная смо с произвольным потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания
- •Раздел 5. Имитационное моделирование.
- •Тема 1. Простейшие задачи, решаемые методом имитационного моделирования.
- •Тема 2. Основные понятия теории Марковских процессов.
- •Тема 3. Метод Монте – Карло.
- •Раздел 6. Прогнозирование.
- •Тема 1. Основная идея прогнозирования. Методы прогнозирования
- •Тема 2.Теории экспертных оценок.
- •Раздел 7. Теория игр.
- •Тема 1. Основные понятия теории игр.
- •1. 1 Понятие об играх и стратегиях
- •Тема 2. Простейшие методы решения задач теории игр.
- •Раздел 8. Элементы теории принятия решений. (2 часа).
- •Основные понятия.
- •Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •Принятие решений при проведении эксперимента.
- •2. Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •2.1 Максиминный критерий Вальда.
- •Критерий равновозможных состояний.
- •3. Принятие решений при проведении эксперимента.
- •3.1. Принятие решений в условиях неопределенности.
- •3.2. Использование смешанной стратегии
- •3.3. Принятие решений в условиях риска
2.4 Путь с минимальным количеством промежуточных вершин (волновой алгоритм).
Процедура находит один из минимальных путей (здесь путей проходящих через минимальное количество вершин) в графе G = (V, E) заданном матрицей связности S. Путь ищется из вершины номер u1 к вершине номер u2 . Процедура использует волновой алгоритм.
Волновой алгоритм заключается в следующем:
1.каждой вершине i приписывается два целых числа Ti - временная метка и Pi - метка предыдущей вершины пути (начальное значение Ti = 0, Pi = 0 для всех i) 2.заводятся два списка "фронта волны" NF и OF, а также переменная T (текущее время)
3.OF:= {u1}; NF:={}; T:= 1
4.для каждой из вершин i, входящих в OF, просматриваются соседние вершины j, и если Tj = 0, то Tj:= T, NF:= NF + j; в Pj заносится номер i.
5.если NF пусто, то путь не существует, переход к шагу 8;
6.если одна из вершин совпадает с u2 , то найден кратчайший путь длины T, переход к шагу 8;
7.OF:= NF; NF:= {}; T:= T+1; возврат к шагу 4.
8.Восстанавливаем путь, проходя массив P.
В качестве OF, NF я использую массивы размера n (количество вершин в графе), некоторые языки (например, Pascal) позволяют работать с объектами типа множества, тогда правильнее использовать именно такую структуру для определения OF, NF, но для того чтобы не нарушать общности я все же остановился именно на массивах, которые присутствуют практически во всех языках программирования.
На выходе имеем переменную length, которая определяет длину пути (length равна -1 если пути не существует, length равна 0, если u1 = u2) и массив Path содержащий последовательность номеров вершин определяющих путь.
К сожалению, для данного алгоритма нет исходного кода. Это не ошибка и сообщать мне об этом не надо. Возможно, для алгоритма ещё не успели создать исходный код, или же при переносе алгоритма из старой версии библиотеки возникли проблемы с исходником и его написание пришлось отложить до лучших времен.
2.5 Нахождение k путей минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами (алгоритм Йена).
Алгоритм предназначен для нахождения К путей минимальной длины во взвешенном графе соединяющих вершины u1 , u2 . Ищутся пути, которые не содержат петель. Алгоритм прислал Pavel Mikheyev.
Итак задача состоит в отыскании нескольких минимальных путей, поэтому возникает вопрос о том чтобы не получить путь содержащий петлю, в случае поиска одного пути минимального веса, это условие выполняется по необходимости, в данном же случае мы используем алгоритм Йена, позволяющий находить K кратчайших простых цепей.
Работа алгоритма начинается с нахождения кратчайшего пути, для этого будем использовать уже описанный алгоритм Дейкстры. Второй путь ищем, перебирая кратчайшие отклонения от первого, третий кратчайшие отклонения от второго и т.д. Более точное пошаговое описание:
1.Найти минимальный путь P1 = (v 11 , ..., v 1L[1]). Положить k = 2. Включить P1 в результирующий список.
2.Положить MinW равным бесконечности. Найти отклонение минимального веса, от (k–1)-го кратчайшего пути Pk-1 для всех i = 1, 2, ..., L[k-1], выполняя для каждого i шаги с 3-го по 6-й.
3.Проверить, совпадает ли подпуть, образованный первыми i вершинами пути Pk-1 , с подпутем, образованным первыми i вершинами любого из путей j = 1, 2, ..., k–1. Если да, положить W[v k-1i , v ji+1] равным бесконечности в противном случае ничего не изменять (чтобы в дальнейшем исключить получение в результат одних и тех же путей).
4.Используя алгоритм нахождения кратчайшего пути, найти пути от v k-1i к u2 , исключая из рассмотрения корни (v k-11 , ..., v k-1i) (чтобы исключить петли), для
этого достаточно положить равными бесконечности элементы столбцов и строк матрицы W, соответствующие вершинам входящим в корень.
5.Построить путь, объединяя корень и найденное кратчайшее ответвление, если его вес меньше MinW, то запомнить его.
6.Восстановить исходную матрицу весов W и возвратиться к шагу 3.
7.Поместить путь минимального веса (MinW), найденый в результате выполнения шагов с 3 по 6, в результирующий список. Если k = K, то алгоритм заканчивает работу, иначе увеличить k на единицу и вернуться к шагу 2.
Алгоритм использует массив p для результирующего списка путей, и массив length для хранения соответствующих длин, при этом, если, начиная с некоторого i элементы length[i] равны -1, значит, существует только i-1 кратчайших путей без петель.