- •Тема 1. Классификация моделей.
- •Тема 1. Классификация моделей.
- •Основные признаки классификации моделей.
- •Область использования.
- •Учет в модели временного фактора.
- •Способ представления модели.
- •Тема 2. Классификация языков компьютерного моделирования.
- •Тема 3. Этапы и цели компьютерного математического моделирования.
- •Раздел 1. Задачи линейного программирования.
- •Тема 1. Математическое программирование. Общий вид задач линейного программирования.
- •Формулировка задачи.
- •Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •Найти минимальное значение линейной функции
- •Тема 2. Графический метод решения задач линейного программирования.
- •Примеры задач, решаемых графическим методом.
- •Обобщение графического метода решения задач линейного программирования.
- •Тема 3. Симплекс - метод.
- •Каноническая задача лп на максимум.
- •Вспомогательная задача лп.
- •Алгоритм метода искусственного базиса
- •Вспомогательная задача лп.
- •Алгоритм метода искусственного базиса.
- •Тема 4. Транспортная задача.
- •4.2 Составление опорного плана.
- •4.3 Метод потенциалов.
- •Раздел 2. Теория графов.
- •Тема 1. Основные понятия теории графов.
- •Элементы множества V называются вершинами графа g (или узлами), элементы множества u-его ребрами. Вершины и ребра графа называют также его элементами и вместо VV и u u пишут Vg и ug.
- •1.2 Операции над графами.
- •1.3.Связность графов.
- •1.4 Эйлеровы графы.
- •1.5 Гамильтоновы графы.
- •Тема 2. Поиск пути в графе.
- •2.2 Путь минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами (алгоритм Дейкстры).
- •2.3 .Путь минимальной суммарной длины во взвешенном графе с произвольными весами для всех пар вершин (алгоритм Флойда).
- •2.4 Путь с минимальным количеством промежуточных вершин (волновой алгоритм).
- •2.5 Нахождение k путей минимальной суммарной длины во взвешенном графе с неотрицательными весами (алгоритм Йена).
- •Тема 3. Задачи о минимальном остове.
- •3.1 Деревья.
- •3.1 Построение минимального остовного дерева (алгоритм Краскала).
- •3.1 Деревья.
- •3.1 .Построение минимального остовного дерева (алгоритм Краскала).
- •Раздел 3. Динамическое программирование.
- •Тема 1. Метод динамического программирования.
- •1.2 Идеи метода динамического программирования
- •1.3 Выбор состава оборудования для технологической линии.
- •Исходные данные для примера
- •Тема 2. Задача инвестирования.
- •Тема 3. Замена оборудования.
- •Тема 4. Задача о загрузке.
- •4.2 Рекуррентные соотношения для процедур прямой и обратной прогонки.
- •4.3 Решение задачи о загрузке.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания (смо). (8 часов).
- •Тема 1. Основные понятия теории массового обслуживания.
- •Тема 2. Простейшие смо и нахождение их параметров.
- •Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:
- •2. Одноканальная смо с неограниченной очередью
- •3. Одноканальная смо с неограниченной очередью, простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания
- •4. Одноканальная смо с произвольным потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания
- •Раздел 5. Имитационное моделирование.
- •Тема 1. Простейшие задачи, решаемые методом имитационного моделирования.
- •Тема 2. Основные понятия теории Марковских процессов.
- •Тема 3. Метод Монте – Карло.
- •Раздел 6. Прогнозирование.
- •Тема 1. Основная идея прогнозирования. Методы прогнозирования
- •Тема 2.Теории экспертных оценок.
- •Раздел 7. Теория игр.
- •Тема 1. Основные понятия теории игр.
- •1. 1 Понятие об играх и стратегиях
- •Тема 2. Простейшие методы решения задач теории игр.
- •Раздел 8. Элементы теории принятия решений. (2 часа).
- •Основные понятия.
- •Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •Принятие решений при проведении эксперимента.
- •2. Принятие решений в условиях полной неопределенности
- •2.1 Максиминный критерий Вальда.
- •Критерий равновозможных состояний.
- •3. Принятие решений при проведении эксперимента.
- •3.1. Принятие решений в условиях неопределенности.
- •3.2. Использование смешанной стратегии
- •3.3. Принятие решений в условиях риска
1.2 Операции над графами.
Удаление вершины V или ребра U графа, а переход к подграфу - это операции, с помощью которых можно получить граф с меньшим числом элементов. Однако известны операции позволяющие, получать графы с большим числом элементов.
Добавление ребра. Если вершина vi и uj не смежны, то можно построить граф G+u, где u=(vi,vj).
Объединение. Граф H называется объединением графов F и G, если VH=VF U VG и UH=UF U UG. Объединение G и F называют дизъюнктивным, если VF * VG =∅. Пересечением графов G и F называется граф H такой, что VH=VF ∩VG, UH=UF ∩ UG обозначается H=G∩F.
Произведением G1 * G2 =G называется граф, для которого VG=V1*V2- декартово произведение множеств вершин исходных графов, а UG строится так: вершин (V11, V12) и (V21,V22) смежны в графе G тогда и только тогда, когда или V11=V21 ,а V12и V22 соединены в G2, или V12=V22 ,а V11и V21 соединены в G1.
1.3.Связность графов.
Важным понятием в теории графов является связность. С ней связано решение ряда прикладных задач, в частности задач кодирования состояний цифрового автомата.
Для неографа орграфа понятие связности несколько отличаются.
Две вершины неографа считаются связанными, если существует маршрут, соединяющии эти вершины.
Граф считается связным, если любые две вершины его связанны. В связном графе между любыми двумя вершинами существует цепь, так как из связывающего их маршрута всегда можно удалить участок, проходящий через некоторую вершину более одного раза. Если граф не связный, то множество его вершин можно разделить на непересекающиеся подмножества, каждое из которых содержит все связанные между собой вершины и вместе с инцидентными им ребрами образует связный подграф.
Орграф называется сильно связным, если для любых его двух вершин vi и vj найдется путь из vi в vj и путь из vj в vi.
Орграф называется несильно связным, если для любых его двух вершин vi и vj найдется путь либо из vi в vj либо из vj в vi.. В остальных случаях граф называется несвязным.
Ребро при удалении, которого граф превращается в несвязный называют мостом.
Вершина, при удалении которой вместе с инцидентным ей ребрами граф становится несвязным, называют сочленением.
Граф, не имеющий мостов и сочленений, называется неразделимым.
1.4 Эйлеровы графы.
Задачи, связанные с эйлеровами и, особенно, с гамильтоновыми, графами часто встречаются в головоломках, в игровых задачах, на практике, в частности, когда для осуществления некоторого комплекса операции необходимо провести их в таком порядке, чтобы эффективность их выполнения была максимальной. К тому же классу задач и известная задача о кенигсбергских мостах, которая на языке теории графов
формулируется так: есть ли в мультиграфе G цикл, соединяющий все ребра мультиграфа? В 1736 году Эйлер доказал, что эта задача неразрешима, но при этом сформулировал важное условие, при котором связный граф содержит эйлеров цикл. Цикл называется эйлеровым, если он содержит все ребра графа, а связный граф с эйлеровым циклом называется эйлеровым.
Эйлеров граф можно нарисовать, не отрывая ручки от бумаги и не повторяя линий. Существует также понятие эйлеровой цепи, т.е цепи содержащей все ребра графа. Эйлер в 1736 году сформулировал теорему: связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.
Естественно, возникает вопрос об отыскании в любом графе эйлерова цикла, т.е о такой нумерации ребер G, чтобы номер указывал каким по счету это ребро входит в эйлеров цикл.
Один из алгоритмов нумерации называется алгоритмом Флёри:
Начиная, с произвольной вершины Vi присваивается произвольному ребру (Vi, Vi+1) номер 1, затем это ребро вычеркивается и переходит в вершину Vi+1.
Пусть Vi- это вершина, в которую пришли на предыдущем шаге, а R-это номер, присвоенный некоторому ребру на этом шаге. Выбирается любое ребро инцидентное вершине Vi, причем мост выбирается только в том случае, когда нет других вариантов. Ребро обозначается R+1 и вычеркивается.
Действия продолжаются до тех пор, пока не будут вычеркнуты все ребра графа, т.е занумерованы. Следует отметить, что эйлеровы графы на практике достаточно редки.