§ 2. Бинарные операции и их свойства

Пусть на множестве Х задано правило, которое любой паре элементов x, y из множества Х (xХ, yХ) ставит в соответствие единственный элемент z из того же множества Х (zХ). Такое правило называется бинарной операцией.

Для обозначения бинарной операции используется запись, при которой пары элементов соединяются специальным значком: xTy=z.

Пример. Пусть в качестве Х выступает множество действительных чисел R. Примерами операций на множестве R могут служить сложение (+), вычитание (-), умножение ().

Свойства бинарных операций

1. Операция T называется коммутативной, если для любых элементов x,yХ справедливо равенство: xTy=yTx .

2. Операция T называется ассоциативной, если для любых элементов x,y,zХ справедливо равенство: (xTy)Tz=xT(yTz) .

Пример. Операции “+” и “” коммутативны и ассоциативны, а операция “-” этими свойствами не обладает.

3. Операция T называется дистрибутивной относительно операции , если для любых элементов x, y, z  Х справедливы равенства:

x T(yz) = (xTy)(xTz), (yz)Tx = (yTx)(zTx).

Пример. Очевидно, операция “” дистрибутивна относительно операции “+”, “-”, причём две последние не являются дистрибутивными относительно “”.

Элемент е называется нейтральным, или единичным, относительно операции T, если для любого xХ выполняются равенства: xTе = еTx = x.

Докажем, что если нейтральный элемент существует, то он единственный.

 Предположим, что существуют, по крайней мере, два различных нейтральных элемента e₁e₂. Тогда, по определению единичного элемента, для любого xХ выполняются равенства:

xTe₁= e₁Tx = x; (*)

xTe₂= e₂Tx = x. (**)

Выберем x = e₂ и подставим его в формулу (*): e₂Te₁= e₁Te₂=e₂.

Выберем x = e₁ и подставим его в формулу (**): e₁Te₂= e₂Te₁=e₁.

Из двух последних равенств следует, что e₁=e₂, а это противоречит предположению. Следовательно, нейтральный элемент единственный.



Пример. Для операции “” нейтральным элементом является 1, а для “+” - 0.

§ 3. Операции над множествами. Законы де Моргана

Объединением двух множеств А и В называется множество вида:

AB ={a / a A или a B}(рис. 1.2, а).

Пересечением двух множеств А и В называется множество вида:

AB={a / a A и a B} (рис. 1.2, б).

Если множества А и В не имеют общих элементов, то AB=.

Пример 1.2. Если A={12,15,18}, a B={12,14,16,18}, то AB={12,14,15,16,18}, AB={12,18}.

а б

Рис. 1.2.

Свойства операций объединения и пересечения

1. AB = ВА, AB = ВА (коммутативность);

2. (AB)С = A(BС), (AB)С = A(BС) (ассоциативность).

Свойство 2 позволяет записывать без скобок объединение и пересечение любого количества множеств:

=A₁ A₂... A_k={a/ aA₁ или aA₂ или ... или a A_k},

=A₁ A₂... A_k={a/ aA₁ и aA₂ и ... и a A_k}.

Объединение и пересечение связаны законами дистрибутивности:

A(BC)= (AB)  (AС); A(BC)= (AB)  (AС).

Докажем первый из них (второй доказывается аналогично).

 С одной стороны, если aA(BC), то aA и a(BC), т.е. aA и (aB или aC). Следовательно, (aA и aB) или (aA и aC), т.е. a (AB)(AС). Отсюда следует, что A(BC)  (AB)(AС).

С другой стороны, пусть теперь, наоборот, a(AB)(AС). Тогда (aA и aB) или (aA и aC), т.е. aA и (aB или aC). Следовательно, aA(BC). Значит, (A B)(AС)  A(BC).

По свойству 3 операции включения следует равенство правой и левой частей доказываемого равенства.



Для операции объединения множеств нейтральным является пустое множество , а для операции пересечения множеств - универсальное множество U.

Семейство множеств {A₁,A₂,...,A_m} называется покрытием множества А, если имеет место равенство A=A₁ A₂... A_m. Множества A₁,A₂,...,A_m называются блоками покрытия.

Пример. Множества {1,2,3,5,7}, {3,6,9}, {2,4,6,8} образуют покрытие множества {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Важным частным случаем покрытия является разбиение. Семейство множеств {A₁,A₂,...,A_m} называется разбиением множества А, если A=A₁ A₂... A_m, A_i , A_iA_j =, ij, 1 i, j m. Множества A₁,A₂,...,A_m называются блоками разбиения.

Таким образом, покрытие является разбиением, если его блоки не пусты и попарно не пересекаются.

Из определения разбиения следует, что порядок записи блоков, в силу коммутативности объединения, может быть произвольным. Например, два разбиения {1,2,9}{5,7}={5,7}{1,2,9} множества {1,2,5,7,9} считаются совпадающими.

Пример 1.3. Составить все возможные разбиения множества {1,2,3}.

Решение. {1}{2,3}; {2}{1,3}; {3}{1,2}; {1}{2}{3}.

В некоторых случаях удобно рассматривать разбиения, в которых порядок записи блоков фиксирован, т.е. любая перестановка блоков даёт новое разбиение. Такие разбиения называют поблочно упорядоченными.

Разность множеств А и В определяется следующим образом:

A\B ={a / aA и aB} (рис. 1.3, а).

Пример. По условию примера 1.2 A\B ={15}, В\А ={14,16}.

Этот пример хорошо иллюстрирует тот факт, что разность не обладает свойством коммутативности; эта операция также не является и ассоциативной.

Пользуясь понятием универсального множества, можно определить дополнение к множеству А, как разность вида: = U \ A (рис. 1.3, б).

Пример. Пусть в качестве универсального множества выступает множество целых чисел Z и пусть А - это множество всех чётных чисел. Тогда - это множество всех нечётных чисел.

Операции объединения, пересечения и дополнения множеств связаны между собой законами де Моргана:

, .

 Если a  , то a  AB. Это значит, что или a, или a, т.е. a. Следовательно, .

С другой стороны, если a, то или a, или a. Это значит, что a A B , т.е. a  . Таким образом,  .

Из этих двух включений следует первый закон де Моргана. 

Второй закон доказывается аналогичным образом.

а б

Рис. 1.3.